這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。另外我們的作業將搭配臺大電機系所開發的多人競技線上遊戲方式，讓同學在遊戲中快樂的學習，快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。
8-1.b：聯合機率分佈 (中)
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From the course by National Taiwan University
頑想學概率：機率二
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From the lesson
WEEK 8
前面幾個禮拜我們所考慮的問題都是只有一個隨機變數的狀況，這週我們要介紹聯合機率分布 (Joint probability distribution)、邊際機率分布 (Marginal probability distribution)，探討：如果有兩個隨機變數的話會有什麼不一樣的地方？期望值又是怎麼定義的？
Meet the Instructors
葉丙成教授(Professor)
電機系(Department of Electrical Engineering)
好 那我们知道概率分布函数是什么
这个联合概率分布函数是什么之后 我们来看一下联合概率分布函数他有哪些性质呢
不管你是什么x跟y，概率分布函数一定都是什么
大于等于0跟小于等于1
你看 就以刚才这个令人发指的小美小华的这个下限这个连个概率分布图你看
每个概率是不是要么是标出来的五分之一 要么没标出来的就是0
因为概率分布函数 刚才已经提到
概率分布函数当中前面的定义他就是一个概率 概率就是0到1之间 这个当然没问题
好 第二个是什么
就是所有x跟y把这概率分布函数都代进去把他加起来
这个概率加起来等于多少
就等于1啦
这其实就是我们前面讲 你把所有
这个样本空间的所有输出这个概率都加在一起
加起来是什么 就是等于1嘛 这跟我们之前的一维也是一样
一维的概率分布函数 x的概率分布函数 px把他加起来
把他x从负无穷加到无穷大 是不是就等于1
所以你把所有的可能性都加起来 所以以这个例子来讲
这个令人发指的图上面的所有点的概率都加起来
是五个五分之一 加起来就等于1
所以就是这个意思
所有的点 概率分布函数的值
加起来 全部都会等于1
另外一个就是比较特别的
如果你的x跟y是独立的随机变量
两个如果是独立的话 会怎么样呢
再回来看一下 他的联合概率函数的值就是X=x且Y=y概率
那你想想看 X跟Y如果是独立
X=x且Y=y这两件事情要发生什么
就是等于个别发生然后相乘嘛 对不对
就是X=x的概率乘上Y=y的概率
那X=x的概率是什么
就是X的概率分布函数
那Y=y的概率是什么
就是Y的概率分布函数啊
所以这个就可以表示说 我们可以把它写成他们各自的概率分布函数相乘
如果同学回去看看前面那个例子
那个小美跟那个小圆哦 那个小圆真是好兄弟
真的没有乱七八糟真的是好兄弟
你看那个 25点各二十五分之一 有没有
那个例子就是这个状况
每一个点各自都等于二十五分之一 等于原来两个各自概率分布函数1/5乘以1/5
所以才变成1/25 所以你看到图就知道小圆是好兄弟
小华 别提了
所以x跟y独立的话有这样的好处
联合概率分布函数等于各自的概率分布函数相乘
这是非常好的性质 等一下你会发现在算期望值的时候
如果这个能够拆开变成两个相乘 哇
超好算 所以为什么我们喜欢
随机变量是互相独立的 因为独立的话
对于我们今天第三节再看算一些期望值什么东西会变得很好算
第四个 这个性质 我们提一下
对于任何一个事件B
这个事件B发生的概率就是把
落在这个事件那个区域的xy的解的全部把他概率分布函数的值加在一起
什么意思呢 没关系 老师给你一个例子
你跟着看就看的懂哦
B 假设我们有个事件
叫做小美小华下线的时间不晚于十点这个事件
小美跟小华下线的时间不晚于十点
那这个事件
这个B其实是什么 在平面上他其实是一个区域啦
满足这个叙述的点把他画出来就是有个区域
什么区域呢你看看就是这个区域嘛 对不对
在这个黄色区域里面的每一个点
他的x跟y的值都小于等于10
也就是说他们下线的时间是不晚于十点
对不对 那你看看呢
现在问题说 小美小华下线不晚于十点这个事件的概率是什么
这个事件发生的概率 根据前面这个式子
就告诉你说 去看那些属于B里面的点属于黄色区域里面所有的点
你把他概率分布函数的值都加在一起
就是啊 你看看 在这个黄色的点里面
在黄色区域里面的点
很多个点 但是 概率不等于0只有几个点
概率不等于只有这个点跟这个点还有这个点 只有这个三个点
对不对 只有这个三个点 所以呢
说明你把B这个区域里面所有的这个点
联合概率分布函数的值加在一起
这时候
联合概率分布函数不等于0的值只有这三个点
在这个区域里面 那你把这三个点加起来就好
所以P(B) B发生的概率在这个例子上面就等于这三个点的概率 就等于
(8,8)这一点的概率分布函数的值加上(9,9)加上(10,10)他的概率分布函数的值 把他加在一起
加在一起之后你就可以得到B发生的概率
这就是联合概率分布函数的性质
那大家就想了 以前我们学概率分布函数
学完我们不是要学什么累积分布函数吗
那你一维的概率分布函数可以变成二维的联合概率分布函数
那一维的累积分布函数有没有类似这样的概念
我们可以弄成一个二维的累积分布函数呢
有没有呢 有的
如果我们考虑两个随机变量XY的联合概率分布的话
我们也可以定义他的所谓的联合累积分布函数
他的联合累积分布函数是什么
也是一个二维的函数
我们用F表示 FXY（x,y）
那里面x y代表什么意思 就是算这个概率 算什么概率
X<=x且Y<=y 注意这个且
两件事情都要发生
那这个代表什么意思呢
我们以这个图来看
以这个图来看的话
如果我们现在看的是 Fxy(10,10)
你要看这个联合累积分布函数在(10,10)上的概率
联合概率分布函数(10,10)代表的概率是什么意思
就代表说X<=10且Y<=10 那就是什么区域
就算是这个区域 就是我们刚才算的那个概率
对不对 我们刚才不是算过这个概率 等于三个加在一起
1/5+1/5+1/5=3/5
ok
比如说我们再看一个例子
如果人家问这个联合累积分布函数在(9,11)上的概率是多少
联合累积分布函数在(9,11)值是什么 这表示什么
X<=9且Y<=11
你在平面上X<=9且Y<=11这样的区域是什么
就是这一块 X<=9且Y<=11就是黄色这个区域
黄色这个区域你看看 在里面概率分布函数不等于0的值不等于0的点有几个
就只有一个 两个 对不对
所以呢 这件事情
X<=9且Y<=11
这区域的概率是什么 就是(1/5)*2=2/5
大家看都之后应该有这个概念 知道说
联合累积分布函数是什么
联合累积分布函数就是算说
X<=x且Y<=y 你给我任何一个x
你给我任何一个y
我就可以画出这个黄色区域 我就可以算说
我的xy这个点 一起考虑的话
这个随机点会落在黄色区域里面的概率是什么
也就是里面每个点的概率分布函数的值加起来
老师很喜欢讲
两个随机变量的时候我们很喜欢把一个随机变量连接起来
回想一下一个随机变量的例子的时候我们做什么
一个随机变量的累积分布函数是什么
一个随机变量的累积分布函数就是说你的x从负无穷到无穷大都有可能发生
但是呢 你今天要告诉我说你要算累积分布函数在x的值
那就是 我想要知道的概率就变成是说
在x以左的这个区域 会落在这个区域的概率是多少
所以这是一维的累积分布函数
你给我一个x我就算出你落在左边这个黄色区域的概率是多少
但是二维的呢 二维的不大一样
二维的 你给我一个x给我一个y
我就算出这个点(x,y) 他的左下角
左下角那个区域
会落在左下角那个区域
在(x,y)左下角区域的概率是多少
所以 有一点不一样啊
但是又有点像 一维的是看落在左边的概率是多少
那二维的例子是什么 你坐在(x,y)左下角的概率是多少
这个就是两个有点类似的地方 老师指出来给大家看
好
接下来我们看一下联合累积分布函数他有那些性质啊 比如说第一个
累积分布函数的值一定在0和1之间
这个也是一样哦 累积分布函数本身就是一个什么
是一个概率 是X=x且Y=y对不对
本身就是一个概率 本身就是一个概率的话
那当然是什么 是0到1之间
对不对 这是很自然的
另外一个呢
大家有没有想通呢 我们来看一下
这边写x1<=x2
且y1<=y2对不对
你看这边有个点叫(x1,y1)
然后呢因为x2
因为x1<=x2所以x2应该在x1的右边
那y1<=y2 所以y2呢应该在y1的上面
对不对 所以你看看 那如果有另外一个点(x2,y2)的话
那这个(x2,y2)呢
必然一定是在(x1,y1)的右上方
那你记不记得刚才讲的说
联合累积分布函数 算的是落在点的左下方的概率
对不对 那你看看 如果是算(x1,y1)的联合累积分布函数的话是算什么
是算落在他的左下方 也就是xy点落在这个区域的概率
那落在x2 y2这个左下方
这个值的这个区域概率是什么
就是他的联合累积分布函数的值 那是什么
在x2 y2 的联合累积分布函数的值
就是落在他的左下方就是这一块
你看看 因为x2 y2
是在x1 y1的右上方
所以他的左下方的区域盖到的范围一定是比x1 y1的左下方区域盖到的范围
完全覆盖住对不对
所以你一定今天落在x1 y1的左下方
就一定会落在x2 y2的左下方
所以这件事情就表示 那就表示
落在x1 y1 左下方的这事情概率 一定是小于等于落在x2 y2左下方的概率
所以这是为什么x1 y1累积分布函数的值
会比x2 y2累积分布函数的值还要来的小
这就是要记住的事情
有任何一个点 如果这个点落在你的左下方的话
那那个点的联合累积分布函数的值一定比这个点的联合累积分布函数的值要小
ok 这个是很重要的性质要记住
另外一个就是
如果联合累积分布函数其中一个 比如y代一个无穷大会发生什么状况
没关系 不要看到这个就害怕
我们就按照i定义把他写出来
你这个一个x一个无穷大就代表什么
你就是算说X小于等于x且Y小于等于无穷大的概率 对不对
那Y小于等于无穷大这句话
那就是废话嘛 任何一个数字都一定小于无穷大嘛 对不对
所以这个废话呢有写跟没写一样
把他删掉 把他删掉对不对
所以这个概率最后其实是算X<=x的概率
那X<=x的概率是什么
就是X的累积分布函数
所以呢 联合累积分布函数把y代无穷大
他就会退化成x的累积分布函数
那相对的你把x那个地方代入无穷大
那y不变的话会退化成什么呢
同样的道理 它会退化成y的累积分布函数
把其中一个代无穷大就会退化成另外一个的累积分布函数
这也是一个很重要的性质
那另外如果两个都代入无穷大呢
两个都小于无穷大 那就是算X小于等于无穷大和Y小于等于无穷大
x一定小于等于无穷大且y一定小于等于无穷大
这两个废话 一个废话和另外一个废话加在一起
同时成立还是一个废话 所以
这个发生的概率是什么 就是1嘛
所以 两个都代无穷大的话
累积分布函数就会收敛到1 这跟以前那个
一维的累积分布函数我把x大于无穷大最后的概率
这个概率会收敛到1是不是一样的
很类似 只是现在两个都代入无穷大才会收敛到1
这是累积分布函数的性质
另外呢 如果代负无穷大呢 负无穷大看一下
你现在y代入负无穷大
那就是算什么 那就是告诉你要算
X小于等于x且Y小于等于负无穷大
那Y是不可能比负无穷大还要负的
你不可能这个数字比负无穷大
任何随机变量比负无穷大还要小的概率是0嘛 对不对 所以
X小于等于x且你又要求Y小于等于负无穷大
Y小于等于负无穷大的概率是0 所以
你看
这个事情 哦
且这个事情 你把一个条件拿走的话是不是就
这个事情就比较容易发生
也就小于等于 Y会小于等于负无穷的概率
Y小于等于负无穷的概率是什么 Y小于等于负无穷的概率就是0啊
那你看看 他等于0
那这个概率本身要大于等于0
任何一个概率都大于等于0
所以呢 这个概率大于等于0又要小于等于0
那最后我们就得到说
Fxy(x,∞)就是什么 就是等于0了
对不对 小于等于0 又因为他本是是个概率 他一定要大于等于0
所以两边夹在一起 我们就发现说
你Y代入负无穷大他就等于0
如果你Y不代入负无穷大你X代入负无穷大 也是一样
最后你也可以得到 这东西呢
他的概率也还是等于0
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