那大家就想了 以前我们学概率分布函数
学完我们不是要学什么累积分布函数吗
那你一维的概率分布函数可以变成二维的联合概率分布函数
那一维的累积分布函数有没有类似这样的概念
我们可以弄成一个二维的累积分布函数呢
有没有呢 有的
如果我们考虑两个随机变量XY的联合概率分布的话
我们也可以定义他的所谓的联合累积分布函数
他的联合累积分布函数是什么
也是一个二维的函数
我们用F表示 FXY（x,y）
那里面x y代表什么意思 就是算这个概率 算什么概率
X<=x且Y<=y 注意这个且
两件事情都要发生
那这个代表什么意思呢
我们以这个图来看
以这个图来看的话
如果我们现在看的是 Fxy(10,10)
你要看这个联合累积分布函数在(10,10)上的概率
联合概率分布函数(10,10)代表的概率是什么意思
就代表说X<=10且Y<=10 那就是什么区域
就算是这个区域 就是我们刚才算的那个概率
对不对 我们刚才不是算过这个概率 等于三个加在一起
1/5+1/5+1/5=3/5
ok
比如说我们再看一个例子
如果人家问这个联合累积分布函数在(9,11)上的概率是多少
联合累积分布函数在(9,11)值是什么 这表示什么
X<=9且Y<=11
你在平面上X<=9且Y<=11这样的区域是什么
就是这一块 X<=9且Y<=11就是黄色这个区域
黄色这个区域你看看 在里面概率分布函数不等于0的值不等于0的点有几个
就只有一个 两个 对不对
所以呢 这件事情
X<=9且Y<=11
这区域的概率是什么 就是(1/5)*2=2/5
大家看都之后应该有这个概念 知道说
联合累积分布函数是什么
联合累积分布函数就是算说
X<=x且Y<=y 你给我任何一个x
你给我任何一个y
我就可以画出这个黄色区域 我就可以算说
我的xy这个点 一起考虑的话
这个随机点会落在黄色区域里面的概率是什么
也就是里面每个点的概率分布函数的值加起来
老师很喜欢讲
两个随机变量的时候我们很喜欢把一个随机变量连接起来
回想一下一个随机变量的例子的时候我们做什么
一个随机变量的累积分布函数是什么
一个随机变量的累积分布函数就是说你的x从负无穷到无穷大都有可能发生
但是呢 你今天要告诉我说你要算累积分布函数在x的值
那就是 我想要知道的概率就变成是说
在x以左的这个区域 会落在这个区域的概率是多少
所以这是一维的累积分布函数
你给我一个x我就算出你落在左边这个黄色区域的概率是多少
但是二维的呢 二维的不大一样
二维的 你给我一个x给我一个y
我就算出这个点(x,y) 他的左下角
左下角那个区域
会落在左下角那个区域
在(x,y)左下角区域的概率是多少
所以 有一点不一样啊
但是又有点像 一维的是看落在左边的概率是多少
那二维的例子是什么 你坐在(x,y)左下角的概率是多少
这个就是两个有点类似的地方 老师指出来给大家看
好
接下来我们看一下联合累积分布函数他有那些性质啊 比如说第一个
累积分布函数的值一定在0和1之间
这个也是一样哦 累积分布函数本身就是一个什么
是一个概率 是X=x且Y=y对不对
本身就是一个概率 本身就是一个概率的话
那当然是什么 是0到1之间
对不对 这是很自然的
另外一个呢
大家有没有想通呢 我们来看一下
这边写x1<=x2
且y1<=y2对不对
你看这边有个点叫(x1,y1)
然后呢因为x2
因为x1<=x2所以x2应该在x1的右边
那y1<=y2 所以y2呢应该在y1的上面
对不对 所以你看看 那如果有另外一个点(x2,y2)的话
那这个(x2,y2)呢
必然一定是在(x1,y1)的右上方
那你记不记得刚才讲的说
联合累积分布函数 算的是落在点的左下方的概率
对不对 那你看看 如果是算(x1,y1)的联合累积分布函数的话是算什么
是算落在他的左下方 也就是xy点落在这个区域的概率
那落在x2 y2这个左下方
这个值的这个区域概率是什么
就是他的联合累积分布函数的值 那是什么
在x2 y2 的联合累积分布函数的值
就是落在他的左下方就是这一块
你看看 因为x2 y2
是在x1 y1的右上方
所以他的左下方的区域盖到的范围一定是比x1 y1的左下方区域盖到的范围
完全覆盖住对不对
所以你一定今天落在x1 y1的左下方
就一定会落在x2 y2的左下方
所以这件事情就表示 那就表示
落在x1 y1 左下方的这事情概率 一定是小于等于落在x2 y2左下方的概率
所以这是为什么x1 y1累积分布函数的值
会比x2 y2累积分布函数的值还要来的小
这就是要记住的事情
有任何一个点 如果这个点落在你的左下方的话
那那个点的联合累积分布函数的值一定比这个点的联合累积分布函数的值要小
ok 这个是很重要的性质要记住
另外一个就是
如果联合累积分布函数其中一个 比如y代一个无穷大会发生什么状况
没关系 不要看到这个就害怕
我们就按照i定义把他写出来
你这个一个x一个无穷大就代表什么
你就是算说X小于等于x且Y小于等于无穷大的概率 对不对
那Y小于等于无穷大这句话
那就是废话嘛 任何一个数字都一定小于无穷大嘛 对不对
所以这个废话呢有写跟没写一样
把他删掉 把他删掉对不对
所以这个概率最后其实是算X<=x的概率
那X<=x的概率是什么
就是X的累积分布函数
所以呢 联合累积分布函数把y代无穷大
他就会退化成x的累积分布函数
那相对的你把x那个地方代入无穷大
那y不变的话会退化成什么呢
同样的道理 它会退化成y的累积分布函数
把其中一个代无穷大就会退化成另外一个的累积分布函数
这也是一个很重要的性质
那另外如果两个都代入无穷大呢
两个都小于无穷大 那就是算X小于等于无穷大和Y小于等于无穷大
x一定小于等于无穷大且y一定小于等于无穷大
这两个废话 一个废话和另外一个废话加在一起
同时成立还是一个废话 所以
这个发生的概率是什么 就是1嘛
所以 两个都代无穷大的话
累积分布函数就会收敛到1 这跟以前那个
一维的累积分布函数我把x大于无穷大最后的概率
这个概率会收敛到1是不是一样的
很类似 只是现在两个都代入无穷大才会收敛到1
这是累积分布函数的性质
另外呢 如果代负无穷大呢 负无穷大看一下
你现在y代入负无穷大
那就是算什么 那就是告诉你要算
X小于等于x且Y小于等于负无穷大
那Y是不可能比负无穷大还要负的
你不可能这个数字比负无穷大
任何随机变量比负无穷大还要小的概率是0嘛 对不对 所以
X小于等于x且你又要求Y小于等于负无穷大
Y小于等于负无穷大的概率是0 所以
你看
这个事情 哦
且这个事情 你把一个条件拿走的话是不是就
这个事情就比较容易发生
也就小于等于 Y会小于等于负无穷的概率
Y小于等于负无穷的概率是什么 Y小于等于负无穷的概率就是0啊
那你看看 他等于0
那这个概率本身要大于等于0
任何一个概率都大于等于0
所以呢 这个概率大于等于0又要小于等于0
那最后我们就得到说
葉丙成教授 (Professor)
