Solution de l'exercice à intégration par partie, donc par définition,
l'espérance de h(X), h étant positive, l'intégrale a toujours un sens,
l'espérance a un sens dans zéro plus l'infini, infini inclu,
hein, donc c'est l'intégrale sur les x positifs ou nuls,
puisque X est a valeur positive, de h(x) probabilité loi de X de dx.
Donc si il y a une densité vous dites P(X), dx.
Donc, ensuite h(x), hein, h est C un, donc on peut écrire, continûment différentiable
avec dérivée continue donc, h(x) en particulier on peut écrire que c'est h(0),
la valeur de en zéro plus l'intégrale de zéro à x hein, l'intégral pour t
appartenant à l'intervalle zéro x mettons, fermé en zéro et ouvert x, de h'(t) dt.
Etant donné que c'est la mesure de Lebesgues,
que l'intervalle soit fermé ou ouvert, ça ne change rien.
Donc nous écrivons espérance de h(X) c'est l'intégral sur les x positifs de (h(0)
plus l'intégral pour t appartenant à zéro, x, h'(t) dt, intégré par la loi P(X) dx).
Donc ensuite c'est là qu'il faut utiliser un tout petit peu le calcul intégral
pour dire qu'il y a une interversion d'intégral qu'on peut faire,
qu'on appelle le théorème de Fubini, donc déjà le premier terme h(0) vous intégrez
sur une mesure de probabilité qui ne charge que les x positifs, h(0),
l'intégrale d'une mesure de probabilité c'est un donc il y a h(0) qui sort,
plus donc l'intégrale double, intégrale de x positif,
intégrale de t appartenant à zéro, x, de ce que l'on écrit.
Donc on change l'ordre d'intégration, Fubini, donc, on intègre, en changeant
l'ordre d'intégration c'est l'intégrale pour t positif ou nul, de h'(t),
on sort h'(t) puisque ça ne dépend pas de x, de l'intégrale pour x strictement plus
grand que t donc t est compris entre zéro et x, donc ça signifie que, pas Fubini,
il va falloir maintenant intégrer x strictement plus grand que t, de la loi
P(X) dx, donc le tout de cette intégrale, en petit x, le tout intégré par dt.
Donc nous avons, espérance de h(X) c'est h(0) plus l'intégrale pour les t positifs
de h'(t) (intégrale de x strictement plus grand que t, loi de x, dx ) dt Fubini.
Donc ensuite on interprète cette intégrale sur petit x en mettant la probabilité pour
que X soit strictement plus grande que t.
Alors par définition, de la probabilité, ou par
définition de l'intégrale d'une fonction par la loi d'une variable aléatoire,
hein, on est en train de regarder tous les petits x strictement plus grand que t,
on intègre par rapport à la loi de X,
c'est bien la probabilité pour que X soit plus grand que t.
Donc, en définitive, dans zéro, plus l'infini inclu, hein, l'espérance de h(0)
+ intégrale pour t positif, de h'(t) P(X strictement plus grand que t) dt.
Nous aurons ainsi résolu la première question de l'exercice.