Donc, vous voyez que dès qu'on a une probabilité eh bien, on peut lui
associer une suite de nombres réels compris entre 0 et 1, de somme égale à 1.
Bien sûr, ce qui est intéressant,
c'est la réciproque, c'est, est-ce qu'à partir d'une telle suite,
on peut définir une probabilité sur oméga, munie de sa tribu P de Oméga.
Nous devons donc définir la probabilité de n'importe quel événement aléatoire A,
de A ronde.
Eh bien, nous allons la définir ainsi,
nous savons que A est égal à la réunion des singletons oméga n,
qui constituent A, et donc, comme ces singletons sont disjoints,
grâce à notre propriété de sigma additivité, la probabilité de A est égal
nécessairement à la somme sur les oméga n dans A des probabilités de oméga n.
On l'a définie comme étant égale à la somme pour oméga n dans A de pn.
Donc, vous voyez que dès qu'on s'est donné une suite de nombres réels, pn,
compris entre 0 et 1, et de somme égale à 1, nous pouvons définir par cette formule,
ici, la probabilité de n'importe quel événement aléatoire A,
comme étant la somme sur oméga n dans A, de pn.
Et il est très facile de montrer,
que P de A ainsi défini, va nous permettre de définir une probabilité.
Donc, théorème, une probabilité sur un ensemble dénombrable est
caractérisée par une suite de nombres réels de 0 à 1 et de somme égale à 1.
Comme exemple et cela terminera cette longue séance numéro 5,
introduisons un nombre réel thêta strictement positif et considérons
la suite de nombres réels, définis par pn égale exponentielle moins thêta,
thêta puissance n, sur, factorielle n.
Je vous rappelle que factorielle n est égal à n fois n moins 1,
etc., fois n moins 2, fois n moins 3, fois etc., fois 2, fois 1.
Nous pouvons vérifier de manière évidente que pn est compris entre 0 et 1.
Et je vous rappelle, c'est même une manière de définir l'exponentielle,
que la somme des pn, donc pn, on regarde si la série de terme général pn
est convergente, et que vaut sa somme, eh bien, la somme des pn,
c'est e puissance moins thêta, fois la somme de thêta n sur factorielle n, et ça,
on sait que c'est une série convergente, cette série de terme général thêta n, sur,
factorielle n est convergente et de somme égale à e puissance thêta,
donc la somme des pn vaut bien 1.
Et ceci, nous permet de définir une probabilité sur N, hein,
j'ai oublié de préciser ici, que n appartenait à N,
donc entier de 0 à plus l'infini, et cette probabilité est appelée loi de Poisson,
de paramètre thêta, puisque vous voyez que vous avez autant de loi de probabilité
que vous avez de thêta réel, strictement positif.
Donc, on reviendra plusieurs fois sur cette loi de Poisson, ultérieurement.
Donc, Poisson, du nom de la personne qui l'a introduite,
Siméon Denis Poisson, qui a écrit un essai en 1837,
sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile
et qui a introduit cette probabilité dans ce cas-là.