Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Séance 5 (2/2) : DÉFINITION GÉNÉRALE D'UNE PROBABILITÉ - TRIBU
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Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1
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L'ESPACE DE PROBABILITÉ (2/3)
Nous poursuivons le Cours 1 avec l'étude des lois de probabilités uniformes sur des espaces d'état finis. Puis nous abordons la définition générale d'une probabilité avec notamment la notion de « tribu ».
Meet the Instructors
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
[MUSIQUE]
[AUDIO_VIDE] Revenons
maintenant au but de notre séance qui est de construire ce modèle de probabilité.
Donc maintenant on a l'espace d'états grand oméga, on a une tribu
sur oméga et nous voulons maintenant définir une probabilité
sur cet espace qu'on appelle un espace mesurable oméga A ronde.
Probabilité, c'est donc une fonction qui va être définie de A ronde à valeurs dans
0 1 et qui va donc pour chaque événement aléatoire de A ronde
mesurer en un certain sens cet événement en lui donnant une chance de réalisation.
Donc, les axiomes qu'on va poser ici sont que premièrement la probabilité de
l'ensemble tout entier est égal à 1, ça, ça ne change pas avec ce qu'on avait vu
et deuxièmement, on va supposer une propriété d'additivité
comme on l'avait vu précédemment mais ici on va avoir une propriété d'additivité
sur une réunion dénombrable d'événements aléatoires qui sont deux à deux disjoints.
Donc, on va considérer une suite An de tels événements et
l'axiome va nous dire que la probabilité de la réunion de ces événements aléatoires
deux à deux disjoints est égale à la somme des probabilités des An.
Donc une remarque, ici en fait on a une série
de terme général probabilité de An donc dans cet axiome, cet axiome inclut le
fait que cette série-là qui est une série à terme positif est une série convergente.
Donc comme on a ici une propriété qui est liée au dénombrable,
on appelle ça un axiome de sigma addititivité.
Quand vous trouvez un sigma comme ça devant une propriété,
ça signifie qu'il y a du dénombrable derrière.
Donc, ça, ça nous dit que notre
application gros P de A ronde dans 0 1 est une mesure abstraite donc
au sens de la théorie de la mesure et ici de masse 1 puisqu'on a supposé que
la probabilité de la mesure de tout l'espace était égale à 1.
Alors, une première question qu'on peut se poser c'est est-ce que cette définition
contient bien la définition que nous nous étions donnée quand oméga est fini.
Donc en particulier, est-ce que la probabilité du vide est bien égale à 0?
Est-ce qu'on a bien cette propriété quand on passe au complémentaire?
Et la propriété d'additivité pour deux événements aléatoires disjoints.
Donc, je vous rappelle que ces propriétés-là entraînent en partie cette
monotonie donc de la probabilité.
Alors, c'est très facile, néanmoins, il faut quand même le remarquer,
de vérifier que notre sigma additivité entraîne ces propriétés-là.
Première remarque, si on pose que An égal vide,
pour tout n, eh bien l'union des An va être encore égale au vide hein.
Je vous rappelle donc déjà les An sont deux à deux disjoints donc,
notre axiome de sigma additivité nous donne cette propriété-là mais ici,
l'union des An, c'est encore le vide qui doit être égal à la somme
donc de la série de terme général P de vide.
Et ça, vous voyez qu'il n'y a qu'une seule manière de l'avoir,
c'est d'avoir P de vide égal 0.
Alors, maintenant qu'on sait ça, c'est facile de déjà de voir que si
on se donne un événement aléatoire A, donc cet événement aléatoire A,
on va également l'appeler A1 et puis je vais appeler A2 le complémentaire.
Et tous les autres An,
je vais les prendre égal au vide donc pour tout n supérieur ou égal à 3.
Et, j'applique ma propriété de sigma additivité.
Donc, dans ce cas-là, la probabilité de l'union des An, ben,
c'est la probabilité de oméga qui est égale à 1, qui va être égale à P de A1
donc P de A plus P de A2 donc P de A complémentaire
plus 0 puisque les autres probabilités sont égales à 0,
on vient de voir que la probabilité du vide était égale à 0.
Et on obtient donc notre deuxième propriété qu'on demandait pour une
probabilité, à savoir que la probabilité du complémentaire d'un événement
aléatoire, c'est 1 moins la probabilité de l'événement aléatoire en question.
Troisième propriété, l'additivité.
Eh bien, vous voyez que si je prends A1 égal A et
A2 égal B dès lors que A inter B égal vide,
et si je prends An égal vide pour tout n supérieur ou égal à 3,
ma propriété de sigma additivité va se traduire par en fait la propriété
d'additivité pour mes événements aléatoires A et B.
A savoir que la probabilité de la réunion A union B est
égale à la probabilité de A plus la probabilité de B.
Deuxième remarque, ben,
on aimerait s'assurer que avec notre axiome de sigma additivité, on peut
retrouver la propriété que l'on souhaitait avoir sur notre exemple de pile ou face,
c'est à dire que ce que l'intuition nous poussait à vouloir montrer hein
dans notre exemple quand on disait que on souhaitait obtenir que la probabilité
de n'obtenir jamais pile dans un jeu de pile ou face infini soit égale à 0.
Donc en fait, c'est le résultat de cette proposition si on
considère une probabilité donc sur oméga A ronde, on va pouvoir montrer que si on
a une suite croissante d'ensembles, une suite An qui vérifie que pour tout n,
An est inclus dans An+1, croissante au sens de l'inclusion, eh bien la
probabilité de l'union des An, ça va être la limite des probabilités de An.
Donc, les probabilités de An, vous voyez ici,
forment une suite croissante comme on vient de le rappeler et donc on sait que
elles convergent soit vers plus l'infini soit vers un nombre fini, ben,
là ce qu'on dit c'est que elles convergent vers la probabilité de la réunion des An.
De même, je vous rappelle que les probabilités des An ici sont
bornées donc une suite croissante bornée, ça converge toujours.
Si maintenant on regarde une suite An décroissante,
hein donc toujours au sens de l'inclusion,
eh bien, on peut montrer que la probabilité de l'intersection des An,
c'est encore la limite des probabilités de An qui est ici une limite décroissante.
Remarque, cette propriété-là n'est pas vraie dans tous les cas,
on pourra avoir des contre-exemples en exercices.
Une deuxième remarque, c'est que le petit b ici nous donne exactement ce qu'on
voulait, à savoir que dans notre exemple du pile ou face,
on a bien que la probabilité de n'obtenir jamais pile est égale à 0.
Nous allons donc maintenant montrer cette propriété.
Première remarque, c'est que en fait ces propriétés sont
équivalentes si on considère le passage au complémentaire.
Puisque on a vu que donc la réunion sur n
des complémentaires
de An est égale à l'intersection des An complémentaires.
Alors oui, une autre chose qu'il faut vérifier aussi, c'est que si nos
événements An sont décroissants au sens de l'inclusion,
eh bien, en fait, ça va nous entraîner que les complémentaires eux sont croissants.
Donc, on peut passer ainsi par passage au complémentaire d'une suite croissante
d'événements aléatoires à une suite décroissante d'événements aléatoires.
Donc, supposons que la propriété soit vraie pour les réunions dénombrables
d'événements aléatoires croissants, donc ce que j'ai appelé la propriété petit a,
dans ce cas, on va pouvoir l'obtenir immédiatement pour les intersections
de suites décroissantes d'événements aléatoires.
En effet si on regarde la probabilité de l'intersection sur n des An,
c'est 1 moins la probabilité du complémentaire de cette intersection,
c'est donc égal à 1 moins la probabilité par cette propriété que j'ai montrée ici
donc 1 moins la probabilité de l'union des complémentaires des
An et puisque nos complémentaires de An forment une suite croissante,
je peux appliquer ma propriété petit a et je sais que ceci est
égal à la limite en n des probabilités des An complémentaires.
Mais la probabilité de An complémentaire, c'est 1 moins
P de An et donc finalement, j'obtiens bien que la probabilité de l'intersection sur n
des An, c'est la limite en n des P de An.
Nous devons maintenant montrer la propriété petit a.
Nous considérons donc une suite d'événements aléatoires An qui sont inclus
les uns dans les autres hein, on a une suite croissante d'événements aléatoires
et nous voulons calculer la probabilité de l'union sur n des An.
Nous connaissons, je, la probabilité d'une réunion
dénombrable d'ensembles aléatoires disjoints puisque je vous rappelle
que c'est sur ces ensembles-là que porte la propriété de sigma additivité.
Nous savons que si les ensembles aléatoires sont disjoints,
la probabilité de la réunion est égale à la somme des probabilités.
Ici nous n'avons une information que sur la croissance de la suite An mais nous
allons en fait transformer cette suite en, enfin, lui a transformé
la réunion des An en une réunion d'ensemble Bn qui seront disjoints, donc
à la suite croissante, on va associer une suite d'événements aléatoires disjoints.
Alors, comment on fait ça.
Eh bien, on considère, on a A0, ici,
ensuite A0 est inclus dans A1, qui est lui-même inclus dans A2,
etc., qui va être inclus dans An.
Donc, vous voyez que l'union A0, union A1, union A2,
union An qui n'est rien d'autre que An puisque la suite des An est croissante,
peut s'écrire comme une réunion d'événements disjoints.
Donc, je vais appeler Bn, donc, vous voyez que cette suite d'événements Bn,
on va la construire de la manière suivante, B0 va être égal à A0,
B1 va être égal à A1 moins A0, qui est aussi,
ici, A1 moins B0, B1 ça sera cette couronne,
que je suis en train de hachurer, B2 ça va être A2
moins A1, donc c'est cette nouvelle couronne ici,
que j'hachure un petit plus finement, et etc.,
Bn sera égal à An moins A(n- 1).
Donc, on fabrique cette succession de couronnes qui sont disjointes 2 à 2,
et par construction, écrivons-le,
les Bn sont disjoints 2 à 2
[AUDIO_VIDE] et de plus,
on peut montrer que l'union,
vous voyez An s'écrit comme A0,
comme, pardon, A0 mais on va plutôt écrire B0, union, donc, A0 égale à B0, union B1
donc B1 est ici, B2 est ici, alors, bon, il ne faut pas confondre A2, c'était
le gros ensemble je les ai entourés les Ai et les Bi sont les couronnes,
union etc., union Bn.
De plus, puisque les Bn sont disjoints 2 à 2, je vous rappelle que la probabilité de
la réunion sur n des Bn est égale à la somme sur n des probabilités de Bn.
Donc, bien, nous avons cette information-là sur les Bn
et cette écriture de An en fonction des Bn.
Alors, maintenant c'est assez facile, vous voyez qu'on a,
si on veut on sait que Bn est égal à An moins A(n- 1)
et je vous renvoie aux axiomes sur les probabilités pour écrire que, donc,
je ne vais peut-être pas l'écrire en rouge, pour écrire
que P de Bn est égal à P de An moins P de A(n – 1),
A(n – 1) est inclue dans An par hypothèse.
Donc, vous voyez que la somme, j'écris encore,
de P égale 0, à n, de P de Bn,
est égal, ça, ça peut se voir à partir de cette union-là à la probabilité de An.
Bien.
Donc, maintenant cela va,
alors une dernière remarque qu'on peut faire de par l'étoile, que si maintenant,
on regarde l'union sur n des An, on va l'écrire tout de suite après,
eh bien, c'est égal à l'union sur des Bn, de manière évidente.
[AUDIO_VIDE] Donc,
écrivons-le maintenant
union sur n des An égale l'union sur n des Bn.
Je vous rappelle que l'on cherche à calculer la probabilité
de la réunion des An.
Donc, écrivons-le, la probabilité de la réunion des An est égal à la probabilité
de la réunion sur n des Bn est égal à la somme sur n,
comme on l'a rappelé de la probabilité des
Bn, et ça, vous voyez que,
je vous rappelle, que la somme de p égale 0, on va écrire ça, je
vous rappelle que c'est la limite quand n tend vers l'infini,
de la somme de p
égale 0 à n, des probabilités de Bp.
Par définition, la somme d'une série surtout ici, à termes positifs,
c'est la limite des sommes partielles, c'est la définition.
Or, nous avons remarqué, et je vous renvoie à la page précédente,
que cette quantité-là est égal à P de An, donc vous voyez que
nous avons finalement montré ce que l'on voulait, à savoir que si An est
une suite croissante, au sens de l'inclusion, eh bien,
la probabilité de union des An est égal à la
limite en n des probabilités de An, ce que l'on voulait démontrer.
Nous allons maintenant voir une dernière propriété,
qui est bien utile dans la pratique.
À savoir que si maintenant,
on considère une famille dénombrable d'événements aléatoires quelconques,
donc on ne suppose plus du tout d'hypothèses d'évènements disjoints, ici,
on prend des évènements aléatoires quelconques, et on souhaiterait avoir un
contrôle, une estimation de la probabilité de leur réunion.
Bien évidemment ils ne sont pas disjoints 2 à 2,
on ne peut pas dire que cette réunion est égale à la somme des probabilités, mais,
néanmoins on peut avoir une information, à savoir que cette probabilité est plus
petite que donc la somme de cette série de terme général probabilité de Ai.
Nous allons maintenant démontrer cette dernière propriété.
Premier cas, I l'ensemble d'indices est fini.
Donc, nous voulons montrer que pour tout k entier,
la probabilité de la réunion de i égale 1, à k,
des Ai est inférieur ou égal à la somme de i égale 1, à k des probabilités des Ai.
Et ceci peut se faire par récurrence sur k,
[AUDIO_VIDE] bien sûr,
c'est immédiat pour k égale 1.
Et maintenant, je suppose que pour toute suite de taille (k – 1),
toute suite d'événements aléatoires A1, A2, A(k- 1),
on a que la probabilité de A1 union, etc.,
union A(k- 1) est inférieur ou égal
à la somme de i égale 1, à (k – 1) de probabilité de Ai.
Montrons-le maintenant avec k événements aléatoires,
nous allons appeler cette union B, et ce que je regarde maintenant,
c'est la probabilité de A1 union A2 union A(k- 1) union Ak.
C'est-à-dire la probabilité B union Ak.
Nous avons vu en séance 3 que cette probabilité était égale à la probabilité
de B plus la probabilité de Ak moins
la probabilité de B inter Ak,
comme la probabilité de B inter Ak est positive, en fait,
la probabilité de la réunion de B et de Ak est donc de manière évidente,
plus petite que la probabilité de B plus la probabilité de Ak.
Et comme je sais par mon hypothèse de récurrence que la
probabilité de B est plus petite que la somme de i égale 1,
à (k – 1), de probabilité de Ai,
eh bien, finalement, j'obtiens, dans le cas où l'ensemble d'indices Ai est fini,
exactement ce que je voulais à savoir que la probabilité A1 union A2 union Ak est
plus petite que la somme de i égale 1, à k des probabilités de Ai.
Nous devons maintenant passer au deuxième cas, où i est infini.
Infini, mais dénombrable, donc le cas général.
Prenons par exemple, pour fixer les idées, I égale N étoile,
tous les ensembles dénombrables sont en bijection.
Donc, nous allons introduire Bn égale la réunion de i égale 1, à n, des Ai.
Et nous savons que ces réunions, vous voyez que ces ensembles Bn, ils croisent,
puisque Bn plus 1, ça va être cette réunion de i égale 1,
à n, des Ai, union l'événement aléatoire An plus 1.
Et donc, la suite des événements Bn
est croissante, au sens de l'inclusion et elle croît vers la réunion des Bn,
qui est également la réunion des An.
Donc, ça, c'est ce qu'on peut appeler A et par nos axiomes, on sait que dans ce cas,
la suite des probabilités des Bn va croître, elle également,
donc, là maintenant ce sont des nombres réels, compris entre 0 et 1, donc cette
suite de nombres réels est croissante et croît vers la probabilité de A.
D'autre part, nous savons par ce qu'on vient de montrer, par le premier cas
qu'on a étudié, Bn est la réunion d'un nombre fini d'événements aléatoires,
nous savons que la probabilité de Bn est plus petite ou égal à la somme
de i égale 1, à n, des probabilités de Ai.
Nous venons de voir que les probabilités de Bn, quand n tend vers l'infini, tendent
vers la probabilité de A, donc, ici nous savons que si n tend vers l'infini,
cette probabilité de Bn tend vers la probabilité de A, et par ailleurs,
de manière évidente, c'est une définition, que la somme partielle, ici,
somme partielle de i égale 1, à n, des probabilités de Ai va tendre vers la somme
de la série de terme générale probabilité de Ai pour i dans N étoile.
Donc, par passage à la limite,
on garde ici l'inégalité et c'est exactement ce qu'on voulait montrer.
Donc, voilà nous avons fini de voir les propriétés essentielles
d'une probabilité dans ce cadre très abstrait et très général, et on va appeler
ce triplet que nous avons construit Oméga, la tribu A ronde sur l'espace
d'état Oméga et une probabilité P, on va appeler ça, un espace de probabilité.
Et donc, je vous ai déjà dit que ça était une idée vraiment géniale de Kolmogorov
de mettre au coeur de la modélisation probabiliste la notion de probabilité
comme mesure sur un ensemble d'événements aléatoires.
Donc, toute cette modélisation probabiliste, et qu'on va décliner dans
des tas d'exemple dans la suite du cours, va consister à décrire une
expérience aléatoire par la donnée d'un tel espace de probabilité.
Un cas particulier qu'on peut observer à titre d'exemple est le cas où
l'espace Oméga est dénombrable, donc s'il est dénombrable, on peut énumérer
ses éléments, et ses éléments, on va les noter, oméga 0, oméga 1, oméga n, etc.
Dans ce cas-là, je vous ai dit qu'on prenait toujours comme tribu sur Oméga,
l'ensemble des parties de Oméga.
Eh bien, on va pouvoir caractériser de manière très simple
une probabilité sur un tel espace.
En effet, on va introduire pour chaque singleton oméga n,
la probabilité du singleton, je vais l'appeler pn.
C'est une probabilité, donc c'est un nombre réel compris entre 0 et 1.
Par ailleurs, les singletons sont des événements aléatoires disjoints,
dès lors que les oméga n sont des éléments de Oméga distincts.
Donc, la probabilité de leur réunion
est égal à la somme des probabilités de chaque singleton.
La réunion de tous les oméga n, c'est de manière évidente, l'espace grand Oméga.
Nous avons donc que la somme des probabilités des oméga n vaut P de Oméga,
qui vaut 1.
Chaque probabilité de oméga n a été appelée pn, et donc nous vous montrons
ainsi que la série de terme général pn converge et converge vers 1.
Donc, vous voyez que dès qu'on a une probabilité eh bien, on peut lui
associer une suite de nombres réels compris entre 0 et 1, de somme égale à 1.
Bien sûr, ce qui est intéressant,
c'est la réciproque, c'est, est-ce qu'à partir d'une telle suite,
on peut définir une probabilité sur oméga, munie de sa tribu P de Oméga.
Nous devons donc définir la probabilité de n'importe quel événement aléatoire A,
de A ronde.
Eh bien, nous allons la définir ainsi,
nous savons que A est égal à la réunion des singletons oméga n,
qui constituent A, et donc, comme ces singletons sont disjoints,
grâce à notre propriété de sigma additivité, la probabilité de A est égal
nécessairement à la somme sur les oméga n dans A des probabilités de oméga n.
On l'a définie comme étant égale à la somme pour oméga n dans A de pn.
Donc, vous voyez que dès qu'on s'est donné une suite de nombres réels, pn,
compris entre 0 et 1, et de somme égale à 1, nous pouvons définir par cette formule,
ici, la probabilité de n'importe quel événement aléatoire A,
comme étant la somme sur oméga n dans A, de pn.
Et il est très facile de montrer,
que P de A ainsi défini, va nous permettre de définir une probabilité.
Donc, théorème, une probabilité sur un ensemble dénombrable est
caractérisée par une suite de nombres réels de 0 à 1 et de somme égale à 1.
Comme exemple et cela terminera cette longue séance numéro 5,
introduisons un nombre réel thêta strictement positif et considérons
la suite de nombres réels, définis par pn égale exponentielle moins thêta,
thêta puissance n, sur, factorielle n.
Je vous rappelle que factorielle n est égal à n fois n moins 1,
etc., fois n moins 2, fois n moins 3, fois etc., fois 2, fois 1.
Nous pouvons vérifier de manière évidente que pn est compris entre 0 et 1.
Et je vous rappelle, c'est même une manière de définir l'exponentielle,
que la somme des pn, donc pn, on regarde si la série de terme général pn
est convergente, et que vaut sa somme, eh bien, la somme des pn,
c'est e puissance moins thêta, fois la somme de thêta n sur factorielle n, et ça,
on sait que c'est une série convergente, cette série de terme général thêta n, sur,
factorielle n est convergente et de somme égale à e puissance thêta,
donc la somme des pn vaut bien 1.
Et ceci, nous permet de définir une probabilité sur N, hein,
j'ai oublié de préciser ici, que n appartenait à N,
donc entier de 0 à plus l'infini, et cette probabilité est appelée loi de Poisson,
de paramètre thêta, puisque vous voyez que vous avez autant de loi de probabilité
que vous avez de thêta réel, strictement positif.
Donc, on reviendra plusieurs fois sur cette loi de Poisson, ultérieurement.
Donc, Poisson, du nom de la personne qui l'a introduite,
Siméon Denis Poisson, qui a écrit un essai en 1837,
sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile
et qui a introduit cette probabilité dans ce cas-là.
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