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Soit X k des variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées
et de carré intégrable, qui sont centrées et réduites.
E (X 1 = 0) et Var (X 1) = 1.
Donc nous savons que toute variable aléatoire peut être
recentrée en lui enlevant son espérance et normalisé en réduisant par son écart-type,
pour peu qu'elle soit de carré intégrable.
Donc, on considère les sommes S n = somme de k = 1 à n de X k.
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Première question.
Montrer la convergence en loi et trouver la limite de la suite (1 /
(racine de 2 * n)) * S 2 n- (1 / (racine de n)) * S n.
C'est-à-dire ce qu'on obtient en prenant cette somme normalisée par la racine
du nombre de termes, pour (2 * n) termes moins la même chose pour n termes.
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Deuxième question.
En déduire la non convergence en probabilité de (1 / (racine de n)) * S n.
Solution de l'exercice,
la convergence du Théorème Centrale Limite n'est pas en probabilité.
Il s'agissait d'étudier la suite (S 2 n) / (racine de (2 * n))- (S n) /
(racine de n).
Nous écrivons donc cette suite en fonction des termes qui la composent.
Donc, nous avons d'un côté 1 / (racine de 2 * n) * (somme de k =
1 à 2n de X k)- 1 / (racine de n) * (somme de k = 1 à n de X k).
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La différence ici, on va jusqu'à n, ici on va jusqu'à 2 * n,
et puis on divise ici par (racine de 2 * n), ici par racine de n.
Donc, on va regrouper les termes k = 1 à n d'un côté,
et puis les autres termes de l'autre.
Donc, d'un côté, nous avons la somme de k = 1 à n de X k,
avec en facteur (1 / racine de (2 * n)) - (1 / racine de n).
Donc ainsi nous avons tenu compte de tout ce terme-là,
et des n premiers termes de la somme ici.
Et donc, auquel il faut rajouter (1 / racine de (2 * n)) *
somme de k = (n + 1) à (2 * n) de X k.
Donc, ensuite nous voulons faire apparaître
les termes qui convergent par le Théorème Centrale Limite.
Donc, cette première somme, il y a n termes,
nous allons diviser par (1 / racine de n).
De même, cette somme-là, il y a n termes, nous divisons par (1 / racine de n).
Donc, en facteur ici évidemment, nous avons (1 / racine de 2).
Et ici, nous avons (1 / racine de 2)- 1.
Donc, nous obtenons que cette différence, (1 / (racine de (2 * n)) * S 2 n) - (1 /
(racine de n)) * (S n) vaut (1 / (racine de 2)- 1) * (1 / racine de
n) * (sigma de k = 1 à n de X k) + (1 / racine de 2)
* (1 / racine de n) * somme de k = n + 1 à (2 * n).
Une remarque fondamentale : la suite X k étant indépendante,
identiquement distribuée,
indépendante surtout, cette somme-là et cette somme-là sont indépendantes.
Donc, en les multipliant par des facteurs, cela ne change rien,
donc nous avons ici un terme et ici un autre terme qui sont indépendants.
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Maintenant nous pouvons appliquer le Théorème Central à chacune des sommes.
Chacune des sommes est une somme de n variables aléatoires iid,
centrées, réduites, divisée par 1 / racine de n.
Donc, l'indépendance de ces deux sommes implique que lorsque nous calculons cette
différence, nous l'avons écrite sous forme de somme de deux termes, Chacun des termes
converge, par le Théorème Centrale Limite vers les variables aléatoires gaussiennes.
Il suffit de calculer les variances, puisqu'elles sont centrées.
Donc, cette différence ((1 / (racine de (2 * n)) * (S 2 n)- (1 / racine de n) * S n)
converge vers la somme de deux variables aléatoires indépendantes.
La première, de loi gaussienne centrée et de variance (3 / 2)- (racine de 2),
et la deuxième de loi gaussienne centrée, de variance 1 / 2,
Et donc, si vous faites la sommes de deux gaussiennes indépendantes centrées,
on obtient une gaussienne dont la variance est la somme des variances.
Donc, en définitive, ((1 / (racine de (2 * n)) * (S 2 n)- (1 / racine de n) * S n)
converge en loi vers une gaussienne centrée de variance (2- racine de 2).
Dans ce calcul, il a fallu calculer la variance de la première somme.
Donc, il a fallu calculer ((1 / (racine de 2))- 1) au carré.
Un calcul rapide.
Un développement de binôme montre que c'est bien (3 / 2)- racine de 2,
la variance qu'on a obtenu ici.
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En définitive, cette suite converge en loi vers une variable gaussienne
centrée et de variance (2- racine de 2), qui en particulier n'est pas dégénérée,
c'est une vraie variable aléatoire qui a une variance strictement positive.
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Or, la convergence en probabilité de cette suite
impliquerait la convergence en probabilité vers 0 de ces
différences : ((1 / racine de (2 * n)) * S 2 n)- (1 / racine de n) * S n.
Par exemple, par le principe de Cauchy, ou enfin en tous cas, parce qu'évidemment
chacun de ces deux termes convergerait, et donc, à la limite on trouverait 0.
Donc, la convergence en probabilité de cette suite-là,
implique la convergence en probabilité de cette suite-là vers 0.
Ceci est impossible, car d'un côté la convergence en probabilité
implique la convergence en loi.
Donc, si on converge en probabilité vers une certaine variable aléatoire,
alors on converge en loi vers la même variable aléatoire.
En tous cas vers, les lois convergent vers la loi de cette variable aléatoire.
Et nous venons de montrer dans la question 1 que cette suite ici
converge en loi vers une limite qui n'est pas nulle.
Ceci dit par contradiction que cette suite ((1 / racine de n) * S n)
ne peut pas converger en probabilité.
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Carl Graham
