La convergence du Théorème Central Limite ne peut pas être en probabilité

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Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2

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École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2

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Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.

From the lesson

FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES, CONVERGENCE EN LOI ET THÉORÈME DE LA LIMITE CENTRALE (2/2)

Cette dernière semaine est consacrée au second pilier de la théorie des probabilités : le théorème de la limite centrale. Ce résultat nécessite une nouvelle notion de convergence : la convergence en loi. Nous verrons notamment une application aux intervalles de confiance qui sont utilisés pour les sondages.

Trois exemples de convergence en loi10:04

Erreurs d’arrondi7:09

Second tour d'une élection présidentielle7:14

La convergence du Théorème Central Limite ne peut pas être en probabilité5:35

Test de moyenne nulle16:03

Meet the Instructors

Sylvie Méléard
Professeur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René Chazottes
Directeur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham

Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique

[SON]

[AUDIO_VIDE] Bonjour.

Bienvenue dans le cours d'aléatoire de l'École Polytechnique.

Nous allons proposer un exercice pour montrer que la convergence du

Théorème Centrale Limite ne peut pas être en probabilité.

Soit X k des variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées

et de carré intégrable, qui sont centrées et réduites.

E (X 1 = 0) et Var (X 1) = 1.

Donc nous savons que toute variable aléatoire peut être

recentrée en lui enlevant son espérance et normalisé en réduisant par son écart-type,

pour peu qu'elle soit de carré intégrable.

Donc, on considère les sommes S n = somme de k = 1 à n de X k.

Montrer que ces sommes se comportent d'une certaine façon.

Première question.

Montrer la convergence en loi et trouver la limite de la suite (1 /

(racine de 2 * n)) * S 2 n- (1 / (racine de n)) * S n.

C'est-à-dire ce qu'on obtient en prenant cette somme normalisée par la racine

du nombre de termes, pour (2 * n) termes moins la même chose pour n termes.

Deuxième question.

En déduire la non convergence en probabilité de (1 / (racine de n)) * S n.

Solution de l'exercice,

la convergence du Théorème Centrale Limite n'est pas en probabilité.

Il s'agissait d'étudier la suite (S 2 n) / (racine de (2 * n))- (S n) /

(racine de n).

Nous écrivons donc cette suite en fonction des termes qui la composent.

Donc, nous avons d'un côté 1 / (racine de 2 * n) * (somme de k =

1 à 2n de X k)- 1 / (racine de n) * (somme de k = 1 à n de X k).

La différence ici, on va jusqu'à n, ici on va jusqu'à 2 * n,

et puis on divise ici par (racine de 2 * n), ici par racine de n.

Donc, on va regrouper les termes k = 1 à n d'un côté,

et puis les autres termes de l'autre.

Donc, d'un côté, nous avons la somme de k = 1 à n de X k,

avec en facteur (1 / racine de (2 * n)) - (1 / racine de n).

Donc ainsi nous avons tenu compte de tout ce terme-là,

et des n premiers termes de la somme ici.

Et donc, auquel il faut rajouter (1 / racine de (2 * n)) *

somme de k = (n + 1) à (2 * n) de X k.

Donc, ensuite nous voulons faire apparaître

les termes qui convergent par le Théorème Centrale Limite.

Donc, cette première somme, il y a n termes,

nous allons diviser par (1 / racine de n).

De même, cette somme-là, il y a n termes, nous divisons par (1 / racine de n).

Donc, en facteur ici évidemment, nous avons (1 / racine de 2).

Et ici, nous avons (1 / racine de 2)- 1.

Donc, nous obtenons que cette différence, (1 / (racine de (2 * n)) * S 2 n) - (1 /

(racine de n)) * (S n) vaut (1 / (racine de 2)- 1) * (1 / racine de

n) * (sigma de k = 1 à n de X k) + (1 / racine de 2)

* (1 / racine de n) * somme de k = n + 1 à (2 * n).

Une remarque fondamentale : la suite X k étant indépendante,

identiquement distribuée,

indépendante surtout, cette somme-là et cette somme-là sont indépendantes.

Donc, en les multipliant par des facteurs, cela ne change rien,

donc nous avons ici un terme et ici un autre terme qui sont indépendants.

Maintenant nous pouvons appliquer le Théorème Central à chacune des sommes.

Chacune des sommes est une somme de n variables aléatoires iid,

centrées, réduites, divisée par 1 / racine de n.

Donc, l'indépendance de ces deux sommes implique que lorsque nous calculons cette

différence, nous l'avons écrite sous forme de somme de deux termes, Chacun des termes

converge, par le Théorème Centrale Limite vers les variables aléatoires gaussiennes.

Il suffit de calculer les variances, puisqu'elles sont centrées.

Donc, cette différence ((1 / (racine de (2 * n)) * (S 2 n)- (1 / racine de n) * S n)

converge vers la somme de deux variables aléatoires indépendantes.

La première, de loi gaussienne centrée et de variance (3 / 2)- (racine de 2),

et la deuxième de loi gaussienne centrée, de variance 1 / 2,

Et donc, si vous faites la sommes de deux gaussiennes indépendantes centrées,

on obtient une gaussienne dont la variance est la somme des variances.

Donc, en définitive, ((1 / (racine de (2 * n)) * (S 2 n)- (1 / racine de n) * S n)

converge en loi vers une gaussienne centrée de variance (2- racine de 2).

Dans ce calcul, il a fallu calculer la variance de la première somme.

Donc, il a fallu calculer ((1 / (racine de 2))- 1) au carré.

Un calcul rapide.

Un développement de binôme montre que c'est bien (3 / 2)- racine de 2,

la variance qu'on a obtenu ici.

En définitive, cette suite converge en loi vers une variable gaussienne

centrée et de variance (2- racine de 2), qui en particulier n'est pas dégénérée,

c'est une vraie variable aléatoire qui a une variance strictement positive.

Deuxième question.

C'était de montrer que cette suite,

(1 / racine de n) * S n, ne pouvait pas converger en probabilité.

Or, la convergence en probabilité de cette suite

impliquerait la convergence en probabilité vers 0 de ces

différences : ((1 / racine de (2 * n)) * S 2 n)- (1 / racine de n) * S n.

Par exemple, par le principe de Cauchy, ou enfin en tous cas, parce qu'évidemment

chacun de ces deux termes convergerait, et donc, à la limite on trouverait 0.

Donc, la convergence en probabilité de cette suite-là,

implique la convergence en probabilité de cette suite-là vers 0.

Ceci est impossible, car d'un côté la convergence en probabilité

implique la convergence en loi.

Donc, si on converge en probabilité vers une certaine variable aléatoire,

alors on converge en loi vers la même variable aléatoire.

En tous cas vers, les lois convergent vers la loi de cette variable aléatoire.

Et nous venons de montrer dans la question 1 que cette suite ici

converge en loi vers une limite qui n'est pas nulle.

Ceci dit par contradiction que cette suite ((1 / racine de n) * S n)

ne peut pas converger en probabilité.

Ceci termine la solution de l'exercice, et donc l'exercice.

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