La différence ici, on va jusqu'à n, ici on va jusqu'à 2 * n,
et puis on divise ici par (racine de 2 * n), ici par racine de n.
Donc, on va regrouper les termes k = 1 à n d'un côté,
et puis les autres termes de l'autre.
Donc, d'un côté, nous avons la somme de k = 1 à n de X k,
avec en facteur (1 / racine de (2 * n)) - (1 / racine de n).
Donc ainsi nous avons tenu compte de tout ce terme-là,
et des n premiers termes de la somme ici.
Et donc, auquel il faut rajouter (1 / racine de (2 * n)) *
somme de k = (n + 1) à (2 * n) de X k.
Donc, ensuite nous voulons faire apparaître
les termes qui convergent par le Théorème Centrale Limite.
Donc, cette première somme, il y a n termes,
nous allons diviser par (1 / racine de n).
De même, cette somme-là, il y a n termes, nous divisons par (1 / racine de n).
Donc, en facteur ici évidemment, nous avons (1 / racine de 2).
Et ici, nous avons (1 / racine de 2)- 1.
Donc, nous obtenons que cette différence, (1 / (racine de (2 * n)) * S 2 n) - (1 /
(racine de n)) * (S n) vaut (1 / (racine de 2)- 1) * (1 / racine de
n) * (sigma de k = 1 à n de X k) + (1 / racine de 2)
* (1 / racine de n) * somme de k = n + 1 à (2 * n).
Une remarque fondamentale : la suite X k étant indépendante,
identiquement distribuée,
indépendante surtout, cette somme-là et cette somme-là sont indépendantes.
Donc, en les multipliant par des facteurs, cela ne change rien,
donc nous avons ici un terme et ici un autre terme qui sont indépendants.