Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Placement risqué (difficulté **)
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Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2
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CONVERGENCES ET LOI DES GRANDS NOMBRES (2/2)
Nous terminons le Cours 5 en donnant des exemples d'applications de la loi des grands nombres. Nous introduisons également la méthode de Monte Carlo.
Meet the Instructors
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
[SON] Bonjour.
Nous allons faire un exercice sur un placement risqué.
Un particulier, met une somme s strictement positive,
sur un placement risqué à l'instant n = 0.
L'évolution de son placement,
à des échéances régulières, est donné par Sn = MnSn- 1,
autrement dit, la valeur de son placement Sn- 1 en temps n- 1 est multiplié
par un facteur multiplicatif, M indice mn, et on obtient ainsi Sn = MnSn- 1.
Et l'hypothèse, c'est que, les nm,
pour être supérieurs ou égal à 1, sont des variables aléatoires, ou v.a.,
indépendantes et identiquement distribuées.
Nous supposons que M1 est strictement positif, M1 ou n'importe lequel des Mn
puisqu'ils ont tous la même loi, M1 > 0, que n qui par définition est
l'espérance de M1, et donc de n'importe laquelle des variables, est < infini,
et que l, qui est l'espérance du logarithme, ou ln, de M1, est >- l'infini.
Autrement dit, ce sont des v.a.
qui ne s'écrasent pas trop près de 0.
Première question.
Exprimer Sn pour n supérieur ou égal à 1 en fonction de s le placement initial,
et de facteur Mn.
b) Calculer l'espérance de Sn pour n plus grand que 1.
Deuxième question.
Montrer que l, l'espérance du ln de M1 est inférieur ou égal au ln de m,
m c'est l'espérance de M1.
Et que l = ln de m si et seulement si m1 vaut m presque sûrement.
Question b) Montrer que l'on peut choisir la loi de M1 de sorte que m > 1,
et que l < 0.
Il ne s'agit pas de faire de gros calculs, il faut trouver un exemple simple,
soit un argument simple qui permette de montrer que l'on peut trouver
une loi de M1 tel que n > 1 et l < 0.
Nous passons à la partie la plus intéressante de l'exercice,
troisième question.
a) A l'aide du cours,
donner le comportement asymptotique pour n grand de Sn.
Comment le placement va se comporter pour des n grands?
b) Préciser ce comportement asymptotique,
dans le cas où m > 1 et l < 0.
Nous avons vu dans la question précédente,
que c'était possible de trouver des lois de M1 qui satisferont à cela.
a) La question petit a, c'était de calculer Sn en fonction de s et des Mn.
Donc, nous avions une formule de récurrence Sn = MnSn- 1
il suffit de l'itérer ou de faire une récurrence, pour voir que Sn c'est égal à
S la fortune initiale, multipliée par M1, multipliée par etc...
multipliée par Mn.
C'est-à-dire que Sn est obtenue à partir de la fortune initiale,
avec les n facteurs multiplicateurs M&...
Mn. Donc Sn = sM1 ....
Mn. b) Dans la question petit b,
on demandait de calculer l'espérance E(Sn).
Nous avons ici une formule pour Sn.
Donc, E(Sn) est donc l'espérance de s fois M1....Mn.
Donc on utilise d'un côté la linéarité de l'espérance pour sortir le
s et puis ensuite, l'indépendance des Mn,
nous obtenons que E(Sn) = sE(M1)....E(Mn).
Or toutes ces espérances sont égales, puisque les v.a.
sont identiquement distribuées, donc elles valent m donc en fin de compte
nous trouvons que E(Sn) = sm puissance n.
Donc en espérance, la fortune initiale dont on suppose
qu'elle ne dépend pas du hasard, est multipliée à chaque étape par m,
et donc au temps m l'espérance de Sn c'est s fois m puissance n.
La question numéro 2.
a) On nous demandait de montrer que l était inférieur ou égal au ln
de m et qu'il n'y avait égalité que si M1 est égal à m presque sûrement.
En utilisant la définition, nous pouvons donc montrer que l'espérance du ln de M1
est inférieur ou égal au ln de E(M1).
Et qu'il y a égalité si et seulement si la probabilité que M1 soit égal à m,
soit égale à 1.
Comme la fonction Mn est concave stricte,
nous pouvons conclure en appliquant l'inégalité de Jensen.
La fonction, elle, est concave, donc par l'inégalité de Jensen,
nous savons bien que E(ln M1) est plus petite que le ln de E(M1),
c'est la concavité du ln, le fait qu'on prend une moyenne en faisant l'espérance
et qui donne ça, eh bien ensuite, la fonction étant concave stricte,
le cas d'égalité, c'est que la v.a.
est concentrée en un point.
Puisque la v.a.
est de moyenne n, le point sur lequel la v.a.
est centrée, c'est n.
Le cas d'égalité dit qu'il n'y a égalité que si la probabilité pour que M1 = m
est égale à 1.
Ainsi nous avons fini le 2.a).
b) Nous voulions montrer que nous pouvions choisir une loi de M1 pour que m >
1 et l < 0.
Donc la première remarque que nous faisons est : évidemment, on
peut choisir M1 pour que m soit égal à 1 et pour que, M1 n'est pas concentré en 1,
donc la probabilité pour que M1 soit égal à 1 est strictement plus petite que 1.
C'est très facile à faire, par exemple on pourra mettre une masse de Dirac d'un demi
au point 1/2 et une autre masse de Dirac d'1/2, au point 3/2.
Donc nous appliquons le résultat précédent,
l < ln m ln m est le ln de 1 parce que m vaut 1, et donc ça fait 0.
Donc nous avons bien l strictement plus petit que 0.
Pour l'instant nous avons m = 1.
Par continuité, en mouvant un petit peu la masse de M1, nous pouvons modifier la loi
de M1 de telle sorte que n > 1, mais que l < 0.
Dans l'exemple que nous avons pris, nous avons mis une masse de Dirac
de 1/2 en 1/2 et une masse de Dirac de 1/2 en 3/2, il suffirait de transférer un
petit peu de masse, epsilon de masse, du point 1/2 en 3/2, pour que m soit
strictement plus grand que 1, et par continuité, les calculs sont immédiats,
il s'agit de sommer, les espérances et les sommes de tous termes, par continuité,
si on bouge assez peu de masse, si le epsilon que l'on fait passer de 1/2 à 3/2
est suffisamment petit, le ln, le l, l'espérance du ln, restera < 0.
Donc ainsi nous avons montré qu'il est possible de trouver
l'une mais en fait beaucoup de lois de M1, telles que m, sa moyenne,
son espérance soit > 1 et telles que l, l'espérance de son logarithme, soit < 0.
3.a) Il s'agissait de
d'étudier le comportement asymptotique de sn quand n est grand.
Donc nous avons une formule.
Sn = sM1...Mn Mes M1...
Mn sont indépendants et identiquement distribués.
Dans le cours, nous avons étudié la loi des grands nombres,
nous allons donc faire apparaître la loi des grands nombres dans cette expression.
Donc nous allons écrire Sn comme étant s fois l'exponentielle
de n fois 1/n fois la somme de k = 1 à n du logarithme de Mk.
Nous allons juste utiliser le fait que le produit M1...
Mn c'est la somme du logarithme, donc Sn = s fois
exponentielle du ln de M1 jusqu'à Mn, donc c'est s fois l'exponentielle de la
somme de k = 1 à n du logarithme de Mk et nous faisons apparaître le terme 1/n en
multipliant par n pour faire apparaître le terme de la loi des grands nombres.
Donc à partir de ce moment-là, la loi forte des grands nombres implique que
presque sûrement, 1/n somme de k = 1 à n du ln de Mk,
converge presque sûrement vers l qui est l'espérance du ln de M1.
Enfin, la convergence la loi des grands nombres dit que ça converge vers
l'espérance du ln de Mk, où l'espérance du ln de M1, et par définition, c'est m.
Donc, ce que nous observons,
c'est que Sn c'est s fois l'exponentielle de n fois l plus un petit o de n.
A cause de cette convergence.
Nous avons ainsi donné un comportement asymptotique,
nous ne pouvons pas faire mieux que cela, sans renseignements supplémentaires.
3b) La question était de discuter cette asymptotique,
lorsque m > 1 et l < 0 Donc pour m >
1 et l < 0, l'espérance de Sn a été calculée, c'est s n puissance n et
donc nous voyons qu'il y a une croissance exponentielle de l'espérance.
La quantité moyenne d'argent, l'espérance de Sn tend exponentiellement vite,
comme n puissance n, vers l'infini.
Par ailleurs, nous venons d'étudier le comportement presque sûr.
Et nous avons vu que Sn c'est s exponentielle de nn + o(n).
Donc si l < 0, Sn va décroître exponentiellement à l'infini,
puisque évidemment le o c'est pour des n suffisamment gros,
donc presque sûrement, exponentiellement, à l'infini, ou en tous cas
va tendre vers 0 exponentiellement vite à l'infini, presque sûrement.
Donc nous avons une situation où, l'espérance du placement explose,
croissance exponentielle, et où, presque sûrement, le placement
tend vers 0 et deviendra extrêmement petit au bout d'un temps grand.
Ceci termine la solution de l'exercice, et l'exercice lui-même.
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