[SON] Bonjour.
Nous allons faire un exercice sur un placement risqué.
Un particulier, met une somme s strictement positive,
sur un placement risqué à l'instant n = 0.
L'évolution de son placement,
à des échéances régulières, est donné par Sn = MnSn- 1,
autrement dit, la valeur de son placement Sn- 1 en temps n- 1 est multiplié
par un facteur multiplicatif, M indice mn, et on obtient ainsi Sn = MnSn- 1.
Et l'hypothèse, c'est que, les nm,
pour être supérieurs ou égal à 1, sont des variables aléatoires, ou v.a.,
indépendantes et identiquement distribuées.
Nous supposons que M1 est strictement positif, M1 ou n'importe lequel des Mn
puisqu'ils ont tous la même loi, M1 > 0, que n qui par définition est
l'espérance de M1, et donc de n'importe laquelle des variables, est < infini,
et que l, qui est l'espérance du logarithme, ou ln, de M1, est >- l'infini.
Autrement dit, ce sont des v.a.
qui ne s'écrasent pas trop près de 0.
Première question.
Exprimer Sn pour n supérieur ou égal à 1 en fonction de s le placement initial,
et de facteur Mn.
b) Calculer l'espérance de Sn pour n plus grand que 1.
Deuxième question.
Montrer que l, l'espérance du ln de M1 est inférieur ou égal au ln de m,
m c'est l'espérance de M1.
Et que l = ln de m si et seulement si m1 vaut m presque sûrement.
Question b) Montrer que l'on peut choisir la loi de M1 de sorte que m > 1,
et que l < 0.
Il ne s'agit pas de faire de gros calculs, il faut trouver un exemple simple,
soit un argument simple qui permette de montrer que l'on peut trouver
une loi de M1 tel que n > 1 et l < 0.
Nous passons à la partie la plus intéressante de l'exercice,
troisième question.
a) A l'aide du cours,
donner le comportement asymptotique pour n grand de Sn.
Comment le placement va se comporter pour des n grands?
b) Préciser ce comportement asymptotique,
dans le cas où m > 1 et l < 0.
Nous avons vu dans la question précédente,
que c'était possible de trouver des lois de M1 qui satisferont à cela.
a) La question petit a, c'était de calculer Sn en fonction de s et des Mn.