Мы с вами достаточно глубоко разобрались с тем,
что такое классическая вероятность, а именно мы поняли, собственно, определение
классического вероятностного пространства, применения какие-то нашли ему.
И в рамках этого классического вероятностного пространства обсудили
понятия условной вероятности, независимости событий, которые, конечно,
являются одним из центральных объектов современной теории вероятности.
Ну и всякие формулы, которые с этим связаны – формулу полной вероятности,
формулу Байеса – мы в прошлый раз обсудили.
Давайте теперь попробуем разобраться еще с одним очень важным вероятностным объектом,
вероятностным пространством, если хотите, которое, как мы узнаем впоследствии, имеет
массу совершенно замечательных приложений, и вот эти приложения они богаты,
ну вот если в моем стиле говорить, то они богаты, конечно, катарсисами,
очень красивыми доказательствами, очень красивыми теоремами.
Но прежде я расскажу про совершенно стандартную вещь,
которую рассказывают, конечно, в каждом содержательном современном
курсе по теории вероятности – это называется схемой испытаний Бернулли.
Еще одна вероятностная схема,
о которой мы до сих пор не говорили, и на самом деле мы
получили возможность говорить об этой схеме именно благодаря тому,
что в прошлый раз разобрались с тем, что такое независимость событий.
Мы сейчас можем корректно говорить о независимости событий, и, соответственно,
перемножать вероятности независимых событий,
коль скоро эти события пересекаются, и мы хотим найти вероятность пересечений.
Ну давайте начнем, как всегда, с самого простого.
Давайте считать, что у нас есть монета.
Значит вот я нарисовал эту монету, один рубль условный, монета,
если хотите, со смещенным центром тяжести.
Значит очень важно понимать, что сейчас у нас монетка со смещенным центром тяжести.
А именно давайте зафиксируем сейчас некоторое число p,
которое принадлежит отрезку 0,1, и будем считать ну из некоторых,
если хотите физических соображений, будем считать,
что когда мы берем эту монетку и случайным образом кидаем ее на стол,
то с вероятностью p эта монетка ложится кверху решкой,
а с вероятность 1 минус p она ложится кверху, соответственно, орлом.
Значит, давайте считать, что при случайном бросании монетки на стол,
p – это вероятность решки, p – это вероятность решки, а,
соответственно, 1 минус p, которую еще принято
в этой науке для краткости обозначать q, 1 минус p – это вероятность орла.
Ну то есть мы считаем, что монетка в некотором смысле идеальная,
то есть когда мы ее подбрасываем, она ни в коем случае в воздухе, конечно,
не зависает, но это не есть признак идеальности.
Но главное, что ребра ей никак не мешают,
она действительно падает либо четко кверху решкой, либо четко кверху орлом.
Всего есть два варианта, поэтому из естественных интуитивных соображений
понятно, что если мы считаем, что вероятность решки – это p, то,
соответственно, надо полагать вероятность орла равной 1 минус p.
Тут как раз ничего удивительного нет.
Это просто некоторая наша изначальная договоренность.
И вот теперь будем проделывать, собственно, схему испытаний Бернулли.
А именно зафиксируем в свою очередь некоторое натуральное число n и
будем бросать нашу монетку на стол ровно n раз,
каждый раз фиксируя какой стороной кверху она упала.
Значит вот бросаем монетку n раз,
бросаем монету и при каждом бросании фиксируем какой стороной кверху она упала.
Ну давайте для краткости сделаем так: если монетка падает кверху решкой,
если она падает кверху решкой, тогда давайте рисовать в очередном бросании 1.
Все, вот у нас произошел, как говорят, успех.
Успех в данном случае соответствует выпадению решки при случайном
бросании монеты на стол, и этот успех кодируется значением 1.
Соответственно, если монетка упала кверху орлом,
то мы фиксируем 0 и говорим о том, что произошла неудача.
Ну вот такие вот, собственно, две альтернативы.
В итоге у нас возникает после всех n бросаний монетки
некоторая последовательность чисел, каждое из которых – это либо 1, либо 0.
Давайте эту последовательность обозначим, как водится в теории вероятности,
буквой ω маленькая, ну а сама последовательность будет состоять
из символов, скажем x1, ..., xn, где, повторяю,
xi-тое при любом i от 1 до n – это либо нолик, либо единичка.
Ноль, повторяю – это орел, он же неудача, единица,
опять же повторяю – это решка, и она же успех.
При этом в зависимости от того, как фишка ляжет, то есть как вы монетку бросали,
ну понятное дело может получиться все что угодно.
Может возникнуть последовательность из сплошных нулей, ну вот такая вот неудача
нас преследовала постоянно – все время монетка падала кверху орлом.
Может получиться наоборот, в противовес последовательность из сплошных единиц,
непрерывный успех, ну а может как-то еще по-другому,
там единицы с нулями чередуются.
Могут быть любые последовательности.
То есть всего различных таких ω маленьких последовательностей, которые
реализуются в результате схемы испытаний Бернулли их, конечно, 2 в степени n штук.
Вот давайте введем обозначение Ω большое – это будет множество
всех таких ω маленьких, которые состоят из ноликов и единичек.
И вот то, что я сказал – это мощность Ω – количество элементов в нем,
есть просто 2 в степени n.
И вот это вот пространство элементарных исходов, с которым мы теперь, по идее,
будем иметь дело.
То есть в рамках схемы испытаний Бернулли, пространство элементарных исходов
опять-таки состоит из каких-то ω маленьких.
Ну вот на сей раз ω маленькие, в отличие от классической ситуации,
– это не какие-то равновозможные, равновероятные события, а это события,
которые построены по совершенно понятной схеме.
Это события элементарные,
представляющие собой вот такие вот последовательности или, если хотите,
векторы из ноликов и единичек, которых всего 2 в степени n штук.
И вот принципиальное отличие схемы испытаний Бернулли от классической схемы,
с которой мы до сих пор имели дело, оно состоит конечно не в том,
сколько у нас всего элементарных исходов, ну подумаешь,
элементарных исходов именно степень двойки – это не Бог весть какое событие,
ну бывает такое, ничего страшного.
Интересно другое.
Интересно то, что эти элементарные исходы уже действительно не равновероятны.
Андрей Райгородскийпрофессор, доктор физико-математических наук
Максим Жуковскийпреподаватель
