Efeito do atraso no diagrama de Bode e no desempenho em malha fechada.

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Controle Usando a Resposta em Frequência

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Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Controle Usando a Resposta em Frequência

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Neste curso você aprenderá a obter a resposta em frequência de um sistema Linear e Invariante no Tempo (LIT) e a usá-la para projetar controladores que atinjam requisitos de reposta transitória e em regime estacionário. Você aprenderá a obter o diagrama de Bode a partir de dados de amplitude e fase de entradas e saídas senoidais. Também será capaz de esboçar o diagrama de Bode de um sistema dada a sua função de transferência. Outrossim, será capaz de representar a resposta em frequência na carta de Nichols-Black. A fim de se determinar a estabilidade do sistema, você aprenderá a aplicar o critério de Nyquist, que faz uso da resposta em frequência em malha aberta e permite determinar se um sistema será estável em malha fechada. Ao fim do curso, você será capaz de projetar controladores com dinâmica, isto é, com polos e zeros, portanto mais complexos do que um simples ganho de realimentação. Essa flexibilidade permitirá que você projete controladores para satisfazer simultaneamente requisitos de sobressinal e tempo de resposta que seriam impossíveis de atender com um simples ganho. Também poderá com isso alterar as características da resposta em regime estacionário, aumentando as constantes de erro sem alterar (muito) a resposta transitória. Por fim, você aprenderá a projetar controladores do tipo PD, PI e PID, que estão entre os mais disseminados em aplicações de engenharia de controle.

From the lesson

Diagrama de Nyquist. Atraso.

Você aprenderá a representar a resposta em frequência na forma polar e a usar essa representação para avaliar a estabilidade do sistema em malha fechada. Para isso, usará o chamado critério de Nyquist, que permite que você determine quantos polos de malha fechada o sistema terá no semiplano direito. Você também aprenderá a computar o efeito do retardo de tempo na resposta em frequência do sistema e a estimar os efeitos que isso terá na resposta temporal.

O atraso de transporte, modelagem do atraso usando a função de transferência.4:35

Efeito do atraso no diagrama de Bode e no desempenho em malha fechada.5:14

A margem de fase e o efeito do atraso no diagrama de Nyquist.3:03

Meet the Instructors

Rubens Junqueira Magalhães Afonso
Professor Adjunto
Departamento de Sistemas e Controle
Jackson Paul Matsuura
Professor Associado
Departamento de Sistemas e Controle

Olá. Você viu como modelar o atraso na função

de transferência.

Agora, isso não nos diz muito sobre o efeito do atraso na prática.

Para entender isso, você vai aprender a representar o efeito do atraso

no diagrama de Bode para ver como ele afeta os índices de resposta transitória.

Como você aprendeu anteriormente,

o atraso de delta unidades de tempo equivale a multiplicar

a função de transferência do sistema sem atraso por e elevado a menos delta s.

Então vamos separar a função de transferência do sistema 2 partes:

G de s é igual a G n de s e elevado a menos delta s.

que Gn (s) é a função de transferência sem considerar o atraso.

Assim, o módulo de G de j ômega dB é igual ao módulo

de G n de j ômega dB mais o módulo de e elevado a j delta ômega

dB que é igual ao módulo de G n de j ômega dB E a fase de G de j ômega é

igual à fase de G n de j ômega mais a fase de e elevado a menos j delta ômega,

que é igual a fase de G n de j ômega menos delta ômega.

Ou seja, podemos traçar o diagrama de Bode para Gn de j ômega.

O diagrama de módulo de G de j ômega será exatamente o mesmo de Gn de j ômega.

Já para obter o diagrama de fase de G de j ômega,

basta traçar o de Gn de j ômega com as regras usuais nas frequências de quebra e

depois subtrair δω (delta ômega) para cada valor de ω (ômega).

Neste exemplo vamos traçar os diagramas exatos para cada caso para os seguintes

sistemas: G de s igual a G n de s, e elevado a menos delta

s que é igual a 4 sobre s mais 0,1 vezes s mais 1,

tudo isso multiplicado por e elevado a menos 0,2 s.

Então vamos separar a função de transferência do sistema 2 partes.

G de s igual a G n de s elevado a menos delta s,

que Gn de s é a função de transferência sem considerar o atraso.

No diagrama do módulo vemos que a frequência de cruzamento de 0 dB

é ômega c igual a 1,9 radianos por segundo.

O diagrama de fase de Gn de j ômega,

essa frequência equivale a uma margem de fase de 31 graus.

Com esse valor podemos estimar o fator de amortecimento,

si aproximadamente pm sobre 100 que dá 0,31 e o sobressinal

mp igual a menos pi vezes 0,31 sobre a raiz de

1 menos 0,31 ao quadrado que é igual a 0,36.

Já o tempo de subida deve ser tr é igual a pi menos

arco cosseno de 0,31 sobre 1,9 vezes a raiz

de 1 menos 0,31 ao quadrado, que dá 1 segundo.

Agora, olhando os diagramas com atraso, sabemos que o ganho não vai mudar,

de forma que a frequência de cruzamento de 0 dB permanece sendo 1,9 rad/s.

Já a margem de fase é reduzida para cerca de 10 graus,

o que reduz o fator de amortecimento a si igual

a PM sobre 100 igual a 0,10 resultando na

estimativa de sobressinal Mp igual a e elevado a menos pi 0,10

sobre raiz de menos 1,10 ao quadrado, que dá 0,73.

E o tempo de subida,

tr igual a pi menos arco cosseno de 0,10 sobre 1,9 vezes a raiz de

1 menos 0,10 ao quadrado, que dá 0,88.

Vamos conferir estas estimativas na resposta ao degrau unitário,

primeiramente para o sistema sem atraso.

Da figura, concluímos que Mp igual a 0,41 e Tr igual a 0,92 segundos.

Agora, para o sistema com atraso tem-se a seguinte

figura: onde podemos concluir que Mp igual a 0,79 e tr igual a 1 segundo.

Os valores estão próximos de nossas estimativas, particular

para o sobressinal, que foi radicalmente aumentado pelo atraso de transporte.

Além disso,

você pode observar que o comportamento da saída foi substancialmente

mais oscilatório devido à redução da margem de fase ocasionada pelo atraso.

Esse efeito poderia, inclusive, levar à instabilidade do sistema Malha Fechada.

Agora você é capaz de determinar a perda de desempenho devida ao atraso.

Com isso, você está apto a compensar essa perda, ajustando o ganho de forma

a diminuir a frequência de cruzamento de 0 dB e, assim, aumentar a margem de fase.

No video seguinte, você aprenderá a usar o diagrama da Nyquist para

visualizar o efeito do atraso de transporte.

Obrigado!

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