Dans cet exercice, nous devons résoudre, ou, au
moins, nous devons chercher une solution, de l’équation
F seconde plus F prime, plus cinq quarts de F est égal à delta zéro prime.
Donc, intéressons-nous d’abord à l’équation homogène.
L’équation homogène s’écrit F seconde, plus F prime, plus cinq quarts
de F, égal à zéro.
Donc, nous savons résoudre ce type d’équation.
Considérons l’équation caractéristique associée, r 2 plus
r, plus cinq quarts, est égal à zéro.
Nous observons que les solutions sont, r plus moins est égal à moins
un demi, plus ou moins i. Ainsi, la solution générale au
sens des fonctions de F seconde plus F prime, plus cinq quarts de F est égal à
zéro est tout simplement F de x est égal à exponentiel moins x sur
2, multiplié par A cosinus x, plus B sinus x, pour
A et B des constantes. Donc, ce petit
calcul justifie l’indication de l’exercice,
qui est de considérer grand F égale une distribution
grand G, multipliée par exponentielle moins x sur 2.
Donc, suivant l’indication de l’exercice, on pose grand F
égale exponentielle moins x sur deux, multiplié par grand G.
Donc, calculons F prime en fonction de G et G prime,
et F seconde en fonction de G, G prime et G seconde.
Grand F prime est égal, par la formule de Leibniz, à exponentielle
moins x sur 2, G prime moins un demi de exponentielle moins x sur 2, G.
Par la même formule, à l’ordre 2, F seconde est égal à exponentielle
moins x sur 2, G seconde, moins exponentielle moins x sur 2,
G prime, plus un quart de exponentielle moins x sur
2, fois G. Ainsi, si j’écris F seconde
plus F prime, plus cinq quarts de F, en fonction de G, nous
trouvons exponentielle moins x sur 2 multipliée
par G seconde plus G. Alors, ce calcul est correct
puisque nous retrouvons en G, G seconde plus G égal à zéro, si on voulait
résoudre l’équation homogène, dont les solutions sont
bien A cos x plus B sinus x.
Mais ici, nous avons un second membre à résoudre et donc l’équation à
neuf est équivalente à l’équation suivante en G: G seconde, plus
G est égal à exponentielle x sur 2, delta zéro prime.
Il nous
faut calculer exponentielle x sur 2 delta
zéro prime. Par la définition du produit,
exponentielle x sur 2 delta zéro prime, appliquée à une fonction test phi,
est égale à delta zéro prime appliqué à exponentielle x sur 2, phi.
Par définition de la dérivée, delta zéro est égal à
moins delta zéro appliqué à la dérivée d’exponentielle x sur 2 phi, qui vaut tout
simplement un demi de exponentielle x sur 2
phi, plus exponentielle x sur 2 phi prime.
Et donc ici, en utilisant maintenant la définition de la masse de Dirac, qui donne
la, la valeur en zéro de la fonction, nous trouverons moins un demi de phi zéro plus
phi prime de zéro.
Et donc, ici, nous pouvons remplacer exponentielle x sur 2 delta zéro
prime par, moins un demi de delta zéro, plus delta zéro prime.
Donc, nous avons obtenu une nouvelle équation engrangée que nous allons
chercher à résoudre en utilisant la
deuxième indication de l’exercice, à savoir,
poser grand G est égal à une fonction petit g
fois la fois grand H, qui est la fonction de Heaviside.