[МУЗЫКА] Давайте мы рассмотрим первый пример,
где мы применим полученные общие знания для решения задачи.
И первый пример будет называться закон Кулона.
[БЕЗ_ЗВУКА] Нам
нужно будет найти электрическое поле, точнее, электрический потенциал
от единичного заряда, помещенного в начале координат.
Согласно уровню максимума,
для этого нужно решить уравнение Лапласа на
[БЕЗ_ЗВУКА] электрический потенциал.
А в правой части стоит источник, и мы, описывая точный источник,
скажем, что это трехмерная δ-функция от r.
Нужно решить уравнение Лапласа, линейное уравнение на φ
(r) с правой части, где в правой части стоит трехмерная δ-функция,
и эта трехмерная δ-функция это есть просто сумма произведения δ-функций
по соответствующим осям δ (x), δ (y), δ (z).
Естественно, это уравнение можно решать разными способами,
но давайте мы это сделаем с помощью преобразования Фурье.
Здесь, поскольку задача трехмерная, нужно говорить о трехмерном
преобразовании Фурье, которое является естественным обобщением одномерного.
А именно мы запишем,
что наше φ (r) будет искаться в виде
интеграл по трехмерному импульсу e в степени ipr.
Фурье-образ мы назовем большой буквой Φ (p),
и здесь стоит интеграл по трехмерному пространству,
нормированный соответственно на 2π в степени размерность пространства.
Так мы вводим преобразование Фурье, обратное вводится естественным же образом.
И давайте поймем, что станет с нашим исходным уравнением.
Раньше мы видели, что производное становится i, умноженное на импульсы.
А здесь стоит оператор Лапласа.
Что с ним произойдет?
Смотрите: оператор Лапласа это есть
(∂/∂x)² +
(∂/∂y)² + (∂/∂z)².
И при преобразовании Фурье он
перейдет в i иксовый
компонент импульса в квадрате + i
игрековый компонент импульса в квадрате + i
зетовый компонент импульса в квадрате,
что есть не что иное,
как −p², где p — это абсолютная величина импульса.
Теперь, глядя на исходное уравнение, нам осталось что сделать?
Нам осталось понять, что происходит с правой частью.
В правой части стоит три δ-функции.
Мы знаем, что Фурье-преобразование от δ-функции есть единица.
Поэтому в импульсном представлении данное уравнение записывается очень просто.
В левой части стоит p² на Фурье-образ Φ (p),
а справа стоит просто-напросто единица.
Ну и тем самым вместо уравнения в частных производных мы
получили простое алгебраическое уравнение, которое имеет естественное решение,
вот мы его нашли Φ (p) = 1 / p².
Задача почти решена.
Для того чтобы ее довести до конца, нам нужно по заданному,
по известному образу Φ (p) восстановить исходную функцию φ (r).
То есть поставить вот это Φ (p) в эту формулу и найти ответ.
Для этого потребуется немножко повозиться с интегралами.
Но это всегда та цена, которую мы платим за то, что уравнение стало простым.
Дифференциальное уравнение пропало, оно стало простым,
но зато нам теперь придется немножко поинтегрировать.
В результате мы для φ (r) можем написать следующее выражение: φ (r) = ∫.
От этой экспоненты остается e в степени
ipr * cos Θ.
Вниз идет p² из преобразования Фурье (вот отсюда).
И надо написать элемент трехмерного объема в импульсном пространстве.
Это есть p² dp 2π от азимутального угла,
от которого ничего не зависит, sinΘ
dΘ / (2π)³
в соответствии с этой формулой.
И вот нам нужно взять интеграл по p от нуля
до бесконечности и по углу Θ от нуля до π.
Давайте эту формулу продолжим.
Значит, мы видим, что p² сокращается.
Итого мы имеем 1 / 2π² ∫ от 0 до ∞,
p² сокращаются, dp.
∫ от 0
до π sinΘ dΘ и
экспонента e в степени
ipr cosΘ.
В данном случае удобнее сначала взять интеграл по Θ и сказать,
что вот это у нас интеграл от новой переменной d cosΘ.
Тогда, интегрируя по этой новой переменной, у
нас получается
1 / (2π)².
[БЕЗ_ЗВУКА] Так,
а здесь у нас стоит 2
sin pr /
pr.
Последний интеграл сводится к интегралу Дирехле.
И в результате мы получаем ответ 1 / 4πr.
Вот мы нашли поле точного заряда и вывели закон Кулона,
который говорит нам, что φ (r) = 1 / 4πr.
И этот пример иллюстрирует общий подход к
решению подобных задач с помощью преобразования Фурье.
Он основан на том, что исходное уравнение,
которое есть уравнение в частных производных, в представлении
Фурье становится уравнением алгебраическим, которое легко решается.
Единственное, что осталось сделать,
это по известной формуле восстановить исходную функцию.
Но для этого придется заняться небольшим количеством интегрирования.
[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА]