Закон Кулона

Loading...

From the course by National Research University Higher School of Economics

Введение в математические методы физики

7 ratings

National Research University Higher School of Economics

Введение в математические методы физики

7 ratings

Цель курса - дать слушателям начальные представления и навыки обращения с приближенными аналитическими вычислениями. Такие методы широко используются в практической работе физиков, но почти не излагаются в регулярных лекционных курсах, что препятствует включению студентов в исследовательский процесс. Большинство лекций также содержат в себе семинарскую часть с разбором задач. Важная часть курса – полноценные задачи для самостоятельного решения с целью закрепления практических навыков применения излагаемых методов вычислений. Предполагается, что слушатели знакомы с основами стандартных математических курсов: математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений.

From the lesson

Преобразования Фурье

В этом модуле Вы познакомитесь с очень важной техникой - преобразованием Фурье. Преобразование Фурье находит применение в огромном числе приложений: от анализа звуковых сигналов и радиотехники, до теоретической физики. Вы научитесь применять преобразование Фурье для решения различных физических и математических задач. Особое внимание будет уделено использованию преобразования Фурье в линейных задачах с трансляционной инвариантностью, а также решению обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных методом Фурье. В конце модуля Вас ждет контрольный тест.

Типы преобразований Фурье. Определение интегрального преобразования Фурье.6:11

Основные свойства преобразования Фурье6:06

Закон Кулона8:46

Уравнение Диффузии9:23

Уравнение типа свертки6:04

Meet the Instructors

Фоминов Яков Викторович
Доцент
Факультета физики НИУ ВШЭ
Фейгельман Михаил Викторович
Главный научный сотрудник
Международная лаборатория физики конденсированного состояния НИУ ВШЭ
Колоколов Игорь Валентинович
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Бурмистров Игорь Сергеевич
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Скворцов Михаил Андреевич
Профессор
Сколковский институт науки и технологий

[МУЗЫКА] Давайте мы рассмотрим первый пример,

где мы применим полученные общие знания для решения задачи.

И первый пример будет называться закон Кулона.

[БЕЗ_ЗВУКА] Нам

нужно будет найти электрическое поле, точнее, электрический потенциал

от единичного заряда, помещенного в начале координат.

Согласно уровню максимума,

для этого нужно решить уравнение Лапласа на

[БЕЗ_ЗВУКА] электрический потенциал.

А в правой части стоит источник, и мы, описывая точный источник,

скажем, что это трехмерная δ-функция от r.

Нужно решить уравнение Лапласа, линейное уравнение на φ

(r) с правой части, где в правой части стоит трехмерная δ-функция,

и эта трехмерная δ-функция это есть просто сумма произведения δ-функций

по соответствующим осям δ (x), δ (y), δ (z).

Естественно, это уравнение можно решать разными способами,

но давайте мы это сделаем с помощью преобразования Фурье.

Здесь, поскольку задача трехмерная, нужно говорить о трехмерном

преобразовании Фурье, которое является естественным обобщением одномерного.

А именно мы запишем,

что наше φ (r) будет искаться в виде

интеграл по трехмерному импульсу e в степени ipr.

Фурье-образ мы назовем большой буквой Φ (p),

и здесь стоит интеграл по трехмерному пространству,

нормированный соответственно на 2π в степени размерность пространства.

Так мы вводим преобразование Фурье, обратное вводится естественным же образом.

И давайте поймем, что станет с нашим исходным уравнением.

Раньше мы видели, что производное становится i, умноженное на импульсы.

А здесь стоит оператор Лапласа.

Что с ним произойдет?

Смотрите: оператор Лапласа это есть

(∂/∂x)² +

(∂/∂y)² + (∂/∂z)².

И при преобразовании Фурье он

перейдет в i иксовый

компонент импульса в квадрате + i

игрековый компонент импульса в квадрате + i

зетовый компонент импульса в квадрате,

что есть не что иное,

как −p², где p — это абсолютная величина импульса.

Теперь, глядя на исходное уравнение, нам осталось что сделать?

Нам осталось понять, что происходит с правой частью.

В правой части стоит три δ-функции.

Мы знаем, что Фурье-преобразование от δ-функции есть единица.

Поэтому в импульсном представлении данное уравнение записывается очень просто.

В левой части стоит p² на Фурье-образ Φ (p),

а справа стоит просто-напросто единица.

Ну и тем самым вместо уравнения в частных производных мы

получили простое алгебраическое уравнение, которое имеет естественное решение,

вот мы его нашли Φ (p) = 1 / p².

Задача почти решена.

Для того чтобы ее довести до конца, нам нужно по заданному,

по известному образу Φ (p) восстановить исходную функцию φ (r).

То есть поставить вот это Φ (p) в эту формулу и найти ответ.

Для этого потребуется немножко повозиться с интегралами.

Но это всегда та цена, которую мы платим за то, что уравнение стало простым.

Дифференциальное уравнение пропало, оно стало простым,

но зато нам теперь придется немножко поинтегрировать.

В результате мы для φ (r) можем написать следующее выражение: φ (r) = ∫.

От этой экспоненты остается e в степени

ipr * cos Θ.

Вниз идет p² из преобразования Фурье (вот отсюда).

И надо написать элемент трехмерного объема в импульсном пространстве.

Это есть p² dp 2π от азимутального угла,

от которого ничего не зависит, sinΘ

dΘ / (2π)³

в соответствии с этой формулой.

И вот нам нужно взять интеграл по p от нуля

до бесконечности и по углу Θ от нуля до π.

Давайте эту формулу продолжим.

Значит, мы видим, что p² сокращается.

Итого мы имеем 1 / 2π² ∫ от 0 до ∞,

p² сокращаются, dp.

∫ от 0

до π sinΘ dΘ и

экспонента e в степени

ipr cosΘ.

В данном случае удобнее сначала взять интеграл по Θ и сказать,

что вот это у нас интеграл от новой переменной d cosΘ.

Тогда, интегрируя по этой новой переменной, у

нас получается

1 / (2π)².

[БЕЗ_ЗВУКА] Так,

а здесь у нас стоит 2

sin pr /

pr.

Последний интеграл сводится к интегралу Дирехле.

И в результате мы получаем ответ 1 / 4πr.

Вот мы нашли поле точного заряда и вывели закон Кулона,

который говорит нам, что φ (r) = 1 / 4πr.

И этот пример иллюстрирует общий подход к

решению подобных задач с помощью преобразования Фурье.

Он основан на том, что исходное уравнение,

которое есть уравнение в частных производных, в представлении

Фурье становится уравнением алгебраическим, которое легко решается.

Единственное, что осталось сделать,

это по известной формуле восстановить исходную функцию.

Но для этого придется заняться небольшим количеством интегрирования.

[МУЗЫКА]

[МУЗЫКА]

Explore our Catalog

Join for free and get personalized recommendations, updates and offers.

Coursera provides universal access to the world’s best education, partnering with top universities and organizations to offer courses online.

© 2019 Coursera Inc. All rights reserved.

Download on the App Store

Get it on Google Play