物理學是描述世上質量與能量交互作用的學問，在這門課中我們將為大家介紹近代物理對於世界的認識。我們會從電磁學出發，進展到光學，並進而說明近代物理對人類觀念的突破。
3-3 電和磁的關係：電流產生磁場
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From the course by National Taiwan University
普通物理學-電磁學、光學及近代物理 (General Physics (1))
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From the lesson
Week 3 神秘的磁場
第三講的主題是「磁場」，主要針對靜磁場的概念探討。
如同介紹靜電學時，遇到一個新的物理特性，我們將先從歷史上以及生活周圍可以觀察到的現象開始。接下來則是和各位探討當初科學家是如何觀察磁場與力的關係，並進而發現電與磁原來是一體的兩面，而有了安培定律以及法拉第感應定律來描述這個電磁相通的現象。最後則是從感應定律引出一個生活中常用的電路元件稱為電感，並和大家簡單說明可以儲存磁能的電感對電路系統的影響。
Meet the Instructors
朱士維教授 (Professor)
物理學系 (Department of Physics)
大家好，歡迎回到普通物理的第三講。
我們在第三節裡面要為各位介紹，電流產生磁場的定量的關係。
所以我們要在這裡介紹兩個重要的定律，一個叫必歐沙伐定律，另外一個是安培定律。
不過事實上安培定律包括好幾個不同的安培定律，我會為各位詳細地說明。另外呢，是在生- 活中呢。
這些電流產生磁場的應用呢，會在那些面向，我們主要介紹電磁鐵會用在哪些地方。
所以呢，我們先復習一下上一節我們提到的導線受力定律。那麼這是安培呢，從實驗裡面呢，
直接推導出來的概念。就是兩條導線如果帶著電流的時候呢，他們會互相吸引或排斥。
而這個吸引或排斥的這個力的大小呢，相當於是 2kA乘上r分之I1乘上I2。也就是說呢，
它們的力的大小，跟裡面流的電流成正比，然後跟兩條導線的距離成反比。然後中間有個比例- 常數叫kA。
那乘以2的原因是安培覺得這裡有兩條線，所以就乘以2。所以安培已經知道了它們同向相吸- ，異向相斥。
而這件事情基本上只適用在長直的導線身上。
所以，不禁要問說：那如果不是直的導線呢？ 這時候要怎麼辦呢？安培這個定律就沒有辦法用了。所以在
1820年的時候，法國的物理學家必歐沙伐 他們就提出來了這個很重要的必歐沙伐定律。
那他們使用方程式來說明電流跟磁場的關係。你可以看看1820年這一年呢，可以說是
電跟磁之間的關鍵的年度，在1820年的4月呢， 發現了電生磁的現象，之後呢很快的三個月之後安培就發表了發表了安培導線定律。
然後在同一年的十月呢，必歐沙伐就發表了必歐沙伐定律。就這一年呢，有了非常非常多對於- 電生磁，
不只是現象上的發現，在數學上也有一個很完備的描述。
那麼在磁學裡面的這個必歐沙伐定律，它的地位呢 相當於是在電裡面庫倫定律一樣，因為它可以求出來
這段導線對旁邊所示的磁場有多大。那麼必歐沙伐定律在講甚麼呢？ 它的概念像是這樣子。就是
在任意形狀的導線裡面，我們可以把它切成很多很多小段的導線。
然後這些小段的導線對於旁邊的某一點所產生的磁場呢，如果我們求得出來， 那把每一段
所產生的磁場通通加起來。就會是這一點所受到的總磁場。
所以呢，用了這個概念呢，我們看看在這個圖裡面這個線， 導線上面有一個電流I。
那麼我們取一小段導線ds，那麼在這裡我們用ids這個向量呢來代表這一個
導線上面的電流，經過這一小段線段的大小。而我們要求的事情呢是，旁邊的
一個點P，它的磁場的大小。那麼，ds這個線段呢對著P這個點的
方向向量呢就是r向量。所以從實驗中呢，大家已經基本上知道，從磁力
跟距離成反比。那麼必歐沙伐定律告訴大家的就是那這個磁力的大小 跟這個電流的大小、還有方向向量
的外積是成正比的。那麼，在這個地方我們稍微強調一下，
我們用ids來代表電流向量的原因是因為i其實不是個向量。就像在上一節裡面，我們用il 的向量來代表
電流一樣。只是在這邊我們為了強調，這是一個很小的位移量。
所以我們用ds這個向量來代表ids整個電流的向量的大小。
那麼另外呢這個r向量呢，在這邊呢，只需要方向。因為
ids*r呢是為了求出磁場的方向的，所以在這個地方r只需要扮演方向的角色就好。
所以，上面這個小小的像屋頂一樣的符號呢代表就是單位向量。也就是這個向量
具有方向的特性，但它的長度呢，是1。這個叫做單位向量。
好，所以必歐沙伐定律告訴大家的事情就是一個
小段的線段ids的電流呢，然後在旁邊一點p產生的
一個小小的磁場dB的它的方程式滿足這個形式，是一個正比的形式。
那麼中間的這個比例常數呢，跟安培定律那個k有甚麼關係呢？在必歐沙伐定律裡面呢，
各位如果現在查閱所有教科書，大概看到的都是這樣的形式，就是4π分之μ0 乘上r平方分之ids*r。那麼為甚麼會有4π分之μ0這樣的東西呢，
基本上這個4π分之μ0呢跟剛剛安培定律裡面講的那個kA呢完全就是同一個概念。
那，這裡面的μ0呢，我們把它叫做磁常數。它有一個特定的大小4π*10的負7
T乘上meter，per安培。那麼這個數字事實上在必歐沙伐定律定義這個方程式的時候- 還沒有出現。
必歐沙伐定律得到的概念是這幾個正比的方程式。那麼他們那時候也是用kA 這樣一個大小的數值。可是到後來呢，在二十世紀的初期呢，
把整個方程式用μ0來表示的原因呢是因為 當初來處理必歐沙伐定律跟安培定律的時候呢，電流的大小是用
所謂的MKS制的大小來定義。那麼到二十世紀初的時候，變成安培定律來定義電流
的大小。那麼這個時候，就需要有一個非常準確的比例常數。
所以，而且為了在那個時代，二十世紀初期有很多物理學家 是用所謂的CGS制，也就是公分、克、跟秒這樣的單位。
那在這樣兩個不同的單位系統下面呢，為了要讓他們的電流 的大小是概念一致的。所以把MKS制裡面的安培定律
裡面的kA用一個μ0這個符號來代替。那麼這是後來歷史演進，
不過在這個地方，我們至少要知道這一件事情是必歐沙伐在1820年就告訴我們，
磁場的大小跟r平方成反比，還有跟電流 乘上距離的外積這個事情成正比。
然後關於必歐沙伐定律還有一個地方要稍微說明一下是 這個定律基本上只適用在靜磁學- 的領域。
也就是說呢，電流不能變化地太快，還有導線不能跑老跑去，就是磁場源不能有位移。
這樣的意義，所以有靜磁學。好，那我們現在用剛剛提到的必歐沙伐定律來求一個
無限長的直導線作為一個範例。來看看在一個無限長的導線旁邊的一點呢，它的磁場大小到底- 有多大。
那我們可以怎麼求這件事情呢？我們先把剛剛的必歐沙伐定律
先寫下來，然後再拿出來看一次，它基本上呢需要幾個參數。
也就是它需要i乘上ds*r，然後分母有個r平方，那麼先把這些參數呢在圖上先定義下來。
就是在這兒圖上面呢，電流的大小呢是i。
那在這個無限長的直導線上面，我們找一小段線段ds，那麼ids就是這一小段
線段上面流過的電流。然後我們現在要求的呢就是這裡一個P點的磁場的大小。
這個db由這一小段ds共線的磁場。那麼這個p點的距離
這一段長導線的垂直距離是大R，而p點呢距離這個小的
ds線段的距離叫做小r，那麼這個p點的垂直導線的位置，
到ds之間的距離叫做小s。從這個小s，大R跟小r這三個
直角三角形可以求出它們之間的相對的長度距離的關係。那我們可以先這樣看， 剛剛的外積這件事情呢，它是
ids*r。那麼ds*r呢，基本上就可以變成ds乘上r乘上他們之間的夾角sinθ值。
所以我們就可以先把它變成ds， 把上面的外積變成ds乘上r乘上sinθ，那麼因為剛剛說r是一個單位向量。
所以r的長度呢，基本上就是1，所以r就不會出現在方程式裡面，那麼ds會留著，還有s- inθ。
那麼這個sinθ有多大呢，可以從剛剛這個， 方程，這個三個距離之間的關係求出來sinθ。所以我們可以把
r平方sinθ整個關係變成一個小s跟大R 的函數。那麼把這個小s跟大R的函數呢，
再帶回去，求磁場的式子裡面之後呢，我們把整個 磁場的產生從負無限大積分到正無限大。
從負無限大積分到正無限大的意思呢是因為這個無限長的導線，所以我們剛剛求出來的這個
db呢是一小段導線產生的磁場，那我們把它從負無限大積到正無限大，就是
整個無限長的導線所造成的一個磁場大小的後果。所以我們把這個積分呢，
基本上你可以用查表的方式求出來呢，或者是直接去計算它。
很快就可以得到說這裡面的， 整段長直導線對於距離它r的位置所產生的磁場大小的是2πR
分之μ0i。這是應用必歐沙伐定律求出無限長直導線旁邊
一點的磁場的強度。好，那麼我們現在如果會求無限長
導線對於旁邊一點所產生的磁場。我們就可以回頭來看看，
那麼，安培在談他的導線受力定律呢，跟這整件事情是不是一致的？那麼我們前面有提過呢，
在磁場裡面，導線受的力呢，相當於是這個IL*B
這個的大小。那麼，我們在這個地方可以看到 我們可以把這兩條導線想像成一條叫做I1，一條叫做I2.
那麼I2呢會對I1產生一個磁場叫做B2。所以呢，我們在這些量的
方向都知道的情況之下，我們都可以把向量的 符號移除掉。而且呢，在這個地方呢，我們知道它們之間.
I跟B的方向是互相垂直，所以外積的結果，只剩下1。
所以這個時候呢，我們如果把我們剛剛已經知道從 電流產生磁場的大小這個關係呢，把它帶進去
那麼就可以得到呢，在導線，兩條導線上面呢，
受得力的大小呢會反比於他們之間的距離、
正比於裡面兩個電流的乘積。那麼這個呢，就是跟前面安培所講的
導線受力定律是完全一樣的。那麼在這個地方呢，可以再看到一次說，這裡面的和前面安培講的
導線受力定律之間呢也差一個比例常數，那麼這就是我們剛剛說的，
在後期才定義出來的μ0來取代從前k的常數的定義。
那麼我們現在對於這個必歐沙伐定律有基本瞭解之後呢， 我們來給各位一個簡單的概念測驗，所以這邊有三條垂直螢幕的導線。
這三條裡面的電流是大小是相同，可是方向不同。其中如果可以看到圓點的部分呢，
這個圓點形狀的導線的表示，這個電流是向螢幕外面流出。
那如果是叉叉符號的話呢，這表示這個電流是向螢幕
的內流進去。所以麻煩各位按照圖中所示的方向來思考看看，這三條導線
受到力的大小的排序應該是哪一個。
好，那麼接下來我要為各位介紹一個很重要的定律就是安培環路定律。
剛剛的必歐沙伐定律，基本上已經能夠處理任意形狀
的一個導線在周圍所產生的磁場。所以它已經算是非常根本而有用的定律。
但是在很多情況之下呢， 我們會不希望處理這麼複雜的一個積分的形式。所以我們有甚麼比較簡單的辦法可以告訴我們，
在導線周圍的磁場會長甚麼樣子呢？這是安培後來提出來的一個環路定律。
那麼，它的概念是甚麼呢 。我們要用下面的圖來跟大家簡單說明一下。它的意思是這樣子。它的意思是說呢，如果在
平面上面是有些導線是像我們這個圖裡面有三條導線在這裡面。那我們在周圍畫一個回圈，
安培環路定律告訴我們說，如果這個回圈裡面 包的總電流的大小
叫做i encircled的，就是包住的電流量的大小。
那麼這個包住的電流量的大小乘上μ0結果呢，會等於
這個回圈上裡面的磁場乘上回圈上每個位置的線向量
全部繞一整圈積分起來的結果。所以這是安培環路定律告訴我們的事情。
那麼，你可以這樣感覺到的事情是，我們在電學裡面談過高斯定律，它也與一個封閉的面- 有關係。
那麼，安培環路定律呢，它的感覺很像是電學裡面的高斯定律。
他也是用一個封閉的回圈來描述這件事情，然後可以很方便地讓你求出磁場的大小。
而安培環路定律基本上直接可以從必歐沙伐定律得到證明，所以這個證明我們就不在這邊 重複地敘述。各位可以再
自己試試看這件事情，或者在網絡上找到它的證明的方式。
那我們這邊直接應用給各位看，怎麼用安培環路定律很簡單地求出來
在導線周圍的磁場分布。我們用剛剛求得這個範例再來一次，就是無限長的直導線。
所以在這個地方呢，我們看到導線它裡面的電流呢是
垂直螢幕向外的。所以呢， 我們就像在高斯定律裡面一樣，我們可以基本上對於這個導線周圍的任意地
取一個封閉的回圈，我們可以自由制指定這個回圈的形狀。
那麼因為我們可以自由指定的關係，那在這個情況之下呢，我們希望做一個圓形的安- 培回圈。
因為導線的周圍的磁場呢，應該沿著導線周圍是對稱的。所以取一個圓形的
安培回圈呢，能夠用對稱性來簡化這個問題。
所以我們先把剛剛的安培環路定律的形式再把它寫下來。
從這個地方看出來我們必須要求出磁場跟每一個
小線段向量的內積的乘積。那麼我們剛剛說的，因為我們取了一個圓形的回圈。
那麼基本上圓形的回圈上面每個位置的磁場 跟小線段向量的方向會是平行的。
所以呢，這個內積的部分呢，就可以直接等於它們量的大小 乘上一個cosθ的夾角。那麼因為它是平行的，cosθ就變成cos0°，cos0°-
就是1。
所以會變成磁場的存量直接乘上這個ds的存量。那麼，
而且呢，在這個圓上面呢它的磁場的大小會是固定磁。所以，可以把磁場直接拿到
積分的外面來。所以，方程式呢就會變成磁場乘上
對位置向量的環狀積分。那麼因為我們剛剛畫了一個圓，所以對於位置向量環狀積分的結果呢，
就會是這個圓的周長。所以呢，安培定律就會變成一個磁場乘上一個圓的周長會等於
μ0*ienc。那麼在這個環裡面呢，它包住的電流就是裡面這個i的大小。
所以從這個結果，我們可以很容易地求出來說， 在一個導線周圍的磁場的大小就是2πR分之
μ0*i。這個結果呢跟剛剛我們用需要一個複雜積分的定律算出來的必歐沙伐定律的結果是完全- 一致的。
那當然呢，這個東西在任意曲面上會成立。
而另外一個部分是我們用安培定律來求求看這個 細長的螺線管上面的磁場的大小。
所以，螺線管這個事情呢，它的概念指的是把導線纏成圈
的形狀。然後電流會沿著導線，形成環狀。所以如果從橫截面來看的話呢， 每一個
突出來的線呢都會在周圍形成一個磁場。凹進去的線呢就會形成一個磁場。
那麼這些磁場都會滿足，前面講的右手定則，形成一個環狀的磁場。
可是很多段線圈和在一起是的時候呢，在螺線管的內部，
它的磁場會有一個加在一起的效應。而在外部呢，它的磁場就會相對的稀疏很多。所以呢，
螺線管內部會形成一個比外部大很多的磁場。那麼這個時候呢，如果我們要用必歐沙伐定律來- 求出來說，啊這個螺線管
整個磁場到底有多大呢，會變成一個非常複雜的積分。我們怎麼樣用一個安培定律來求出- 來螺線管 內部的磁場大小呢？
我們可以像這樣子來進行。所以說，我們先把 安培定律寫下來。那麼安培定律真正重要的就是怎麼選哪那個 回圈的位置。
所以呢，我們在這裡畫一個示意圖，在上面這個是一整排電流凸出來，下面呢是
一整排電流凹進去，顯示一個回圈的截面。我們從橫截面來看這個電路的時候，
選擇一個如圖紅色所示一個安培的回圈。那麼，
這個時候呢，因為剛剛說內部分磁場比外部的要大很多。所以我們可以來看看在這個安培回- 圈上面，
每個位置的磁場乘上它的位置向量的結果會是甚麼？
因為基本上裡面磁場很大，外面磁場很小。所以我們把外面磁場先忽略掉。
把這個螺線管想成只有內部有磁場。那麼在這個回圈裡面呢，你可以看到
ab這個方向呢是跟磁場方向平行的。
所以呢ab這個方向的長度乘上磁場的這一項會留下來 而da跟bc這兩段
是跟磁場互相垂直的，所以內積之後就不見了。外面的CD這一項呢
它跟磁場的內積的結果，因為外面幾乎沒有磁場，所以這一項內積只會非常非常小，也就是說呢- ，整個這樣
一整圈乘下來之後呢，它會剩下的事情只有B乘上H，其實H呢就是AB這段線段
的長度。那麼，安培定律的右半邊呢，在講的是
這個積分的結果呢跟裡面包住的電流大小成正比。
所以呢，在這一圈裡面包住多少電流呢，在這一圈包住的電流的 量的多少呢基本上呢
就等於每一個小回圈裡面電流量乘上 這一段總共有多少回圈。那總共有多少回圈呢？
可以用n乘上h。其實n呢就是單位長度的線圈數，h就是剛剛那段長度。
所以h乘上密度就是在這段回圈裡面包住的線圈的數目
再乘上i呢就是總電流量。所以我們透過這個兩邊比較的結果，我們可以發現，
在一個細長的螺線管裡面呢，它的磁場我們可以用安培回圈定律很容易地求出來呢，就是μ0i
乘上n。也就是說呢，當你的回圈的密度越高的時候，
這個細長螺線管裡面磁場會越強。或是當你對這個螺線管通越大的電流的時候呢， 這個磁場會越強。所以這個部分呢，是跟這個螺線管的長度
是沒有關係的。好，我們講了兩個安培定律的求磁場的應用呢。
那我們在這裡再留個測驗給大家。這個圖裡面呢有三條導線。
那麼這三條導線呢，帶有同樣大小的電流，但是方向不一樣。
另外我們在圖裡面畫了四個安培封閉回圈。請問，哪一個回圈
裡面的磁場積分量，這個回圈積分B*ds會是最大的呢？
我們有一個鐵質的鈴鐺在桌面上，然後這是一個軟鐵棒。
這個鐵棒 現在還沒有磁性。當它靠近鈴鐺的時候，沒有辦法將鈴鐺吸起來，那我們後面有個螺線管
我們現在在螺線管裡面通入電流，一樣地，螺線管
雖然帶有磁性，可是磁性並不足以把鈴鐺吸起來。那我們現在將鐵棒
放進螺線管裡面，然後靠近鈴鐺，
鈴鐺就被吸起來，那
這就是電磁鐵的效應。接著我們將電流關掉，我們發現鈴鐺
就會因為失去磁力然後掉在桌上。那我們有了 安培定律呢，我們也講了回圈
線圈這樣子的概念之後呢，我們用一個簡單的示範實驗來跟各， 讓各位看一下螺線管如果通電的話呢，會形成甚麼樣的磁場的分布，
而且同時呢，我們要試試看在螺線管裡面呢，如果插入鐵棒或是沒有插入鐵棒，會怎麼樣
影響磁性。這個部分呢，如果各位都有興趣的話呢，邀請大家再繼續去閱讀所謂的鐵磁性材料
到底會怎麼樣影響磁場的分布。我們先在螺線管中通入電流，
然後拿張一紙放在 螺線管的周圍，
接著在紙上灑上鐵粉，
可以看到紙上面出現了磁力線的分布，
但是並不怎麼明顯；接著，
我們試試把一根鐵棒放入螺線管當中，看看發生甚麼事情。
可以看到磁力線變得非常地明顯，
也就是說，放一根鐵棒在螺線管當中，會使它磁場增強。
好，那剛剛講的這個 螺線管呢基本上就是在我們生活中呢可以形成電磁鐵
這樣的一個材料，所以電磁鐵在生活中哪些地方會遇到呢？我們在前一節裡面已經跟各位聊過
在電鈴啊、在揚聲器裡面啊，都會遇到電磁鐵，那我也歡迎大家一起來 想生活裡面還有哪些電磁鐵的應用。
我們在這邊呢再舉一個例子，是所謂的傳統的陰極射線管的電視，現代
很多人家的電視已經變得很扁，是液晶的電視，但是也不過就在十幾年前呢，大部分人家的電- 視都是一個很胖的電視，
後面有一個很，很凸出來的一個結構，那個凸出來的結構呢基本上就是一個陰極射線，就像這- 個圖裡面的這一塊，
這就是一個陰極射線管。陰極射線管是甚麼意思呢？我們用一個示意圖來跟各位說明一下，
陰極射線管的意義呢，是，它在這裡面有一個電子槍， 那麼這個電子槍呢會射出電子來，這是所謂的陰極射線。
當它把電子射出來之後呢，要經過後面的處理呢，把電子束聚焦， 然後改變方向之後呢，打在螢幕上特定的位置，
那麼螢幕上又有塗螢光粉，這些電子束打上去的時候呢，就會發出 不同的顏色，那麼發出不同的顏色的結果呢，就會看到一個彩色的電視的
螢幕。那怎麼看到整個螢幕呢？基本上是這個電子束是在不斷地掃描。所以你可以想像
這個電視上要看到東西你就要有一個能力能夠操控電子束的方向，怎麼做到這件事情呢？
基本上就是靠磁場，還有我們前面提到的勞倫茲力，因為電子束呢是一個帶負電的
一堆電子往前衝，所以它有一個速度在，那麼這時候我在周圍加磁場的話呢， 這些帶電、有速度的粒子就會受到這個磁場而
偏折。所以在這個結構裡面呢就是4這個地方
這些線圈主要的功用呢，就是用來改變穿過這個區域的
電子束它們的方向，所以呢，可以控制這些電子束呢 往上、往下、往左、往右偏，因此可以掃描整個螢幕，
而形成一個畫面出來。那麼這個概念呢， 除了在生活中的電視你會遇到之外呢，一模一樣同一個概念
用磁場來改變帶電粒子的方向呢，也用在世界最先進的研究上面，
也就是粒子加速器上。粒子加速器呢，基本上也是用一個非常大的電磁鐵，衝撞出一個很強很- 強的磁場，
來加速裡面帶點粒子，然後讓這些帶電粒子呢互相撞擊之後呢，產生更多的基本粒子來觀察。
所以以上這個部分呢就是我們這一節對於 電生磁的一些定量的介紹還有一些電磁鐵方面的應用。
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